《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

10.【真实问题情境】在如图所示的象棋棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
　　　　

答案： B

11.（南充中考）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC = $\sqrt{3}$AB = 3BD，则AD:AC的值为__________.
　

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

12.【易错】如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB = 6，CD = 4，BD = 14，点P在BD上移动.当PB = ____________时，以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似.
　　　　

答案： 8.4或2或12

13.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC = ∠ADE = 90°，连接BD，CE. 求证：△AEC∽△ADB.

答案： 证明:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴$\frac{AE}{AD}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}$，∠DAE = ∠BAC = 45°，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，∠EAC = ∠DAB，
∴△AEC∽△ADB.

14.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且CD² = AD·BC.
(1)求证：△APD∽△PBC；
(2)求∠APB的度数.
　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明:
∵△PCD是等边三角形，
∴PD = PC = CD，∠PDC = ∠PCD = 60°.
∴∠ADP = ∠PCB = 120°.
∵CD² = AD·BC，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BC}$，
又
∵PD = PC = CD，
∴$\frac{AD}{PC}=\frac{PD}{BC}$，
∴△APD∽△PBC.
(2)解:
∵△APD∽△PBC，
∴∠APD = ∠B.
∵∠B + ∠BPC = ∠PCD = 60°，
∴∠APD + ∠BPC = 60°.
∴∠APB = 60° + ∠DPC = 120°.

15.【注重学习过程】如图，在△ABC和△A'B'C'中，D，D'分别是AB，A'B'上一点，$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$.
(1)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时，求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格；
　
(2)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$时，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
　　　　　

答案：
解:
(1)①$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，②∠A = ∠A'.
(2)相似.理由如下:
如图,分别过点D，D'作DE//BC，D'E'//B'C'，DE交AC于点E，D'E'交A'C'于点E'.
　　　
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
同理，$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$.
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$.
∴$\frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$.
同理，$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$.
∴$\frac{AC - AE}{AC}=\frac{A'C' - A'E'}{A'C'}$，
即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$.
∴$\frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$.
∵$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
∴$\frac{CD}{C'D'}=\frac{EC}{E'C'}=\frac{DE}{D'E'}$.
∴△DCE∽△D'C'E'.
∴∠CED = ∠C'E'D'.
∵DE//BC，
∴∠CED + ∠ACB = 180°.
同理，∠C'E'D' + ∠A'C'B' = 180°.
∴∠ACB = ∠A'C'B'.
∵$\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'.