《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?

答案： 解:如图,$\alpha = 30^{\circ},\beta = 60^{\circ},AD = 120$.
$\because\tan\alpha=\frac{BD}{AD},\tan\beta=\frac{CD}{AD}$
$\therefore BD = AD\cdot\tan\alpha = 120\times\tan30^{\circ}=120\times\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}(m)$
$CD = AD\cdot\tan\beta = 120\times\tan60^{\circ}=120\times\sqrt{3}=120\sqrt{3}(m)$
$\therefore BC = BD + CD = 40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}\approx277(m)$
因此，这栋楼高约为277m.

1.(2023·天门改编)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)

答案：
解:如图，过点D作$DE\perp BC$，垂足分别为E.
　　　
由题意，得$\angle AFB=\angle DEC = 90^{\circ},DE = AF$.
$\because$斜面AB的坡度$i = 3:4$
$\therefore\frac{AF}{BF}=\frac{3}{4}$
设$AF = 3x$米，则$BF = 4x$米.
在$Rt\triangle ABF$中，$AB=\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}} = 5x(米)$
在$Rt\triangle DEC$中，$\angle C = 18^{\circ}$，$CD = 20$米
$\therefore DE = CD\cdot\sin18^{\circ}\approx20\times0.31 = 6.2(米)$
$\therefore AF = DE = 6.2$米
即$3x = 6.2$，解得$x=\frac{31}{15}$
$\therefore AB = 5x\approx10.3(米)$
答:斜坡AB的长约为10.3米.

2.手机测距APP可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的.测量时只需要输入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的高度，如图1某款测距APP提供的测高模式如下：
当物体在地面上时，保持手机固定在眼睛正前方仰拍俯拍不要上下移动.
如图2，点A，B，C，D都在同一平面内，手机位置为A点，待测物体为CD，且AB和CD均与地面BD垂直.从点A处测得顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β.
某小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度.如图2，经过测量得到AB=1.65 m，仰角α=35°，俯角β=28°，求出广告牌CD的高度.(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1 m)

答案：
解:如图，过点A作$AG\perp CD$于点G.
　　　
则$\angle CAG=\alpha = 35^{\circ},\angle DAG=\beta = 28^{\circ}$
$\because AB\perp BD,CD\perp BD$
$\therefore\angle ABD=\angle AGD=\angle BDG = 90^{\circ}$
$\therefore$四边形ABDG是矩形，$\therefore DG = AB = 1.65m$
在$Rt\triangle AGD$中，$\tan\beta=\frac{DG}{AG}$
$\therefore AG=\frac{DG}{\tan\beta}=\frac{1.65}{\tan28^{\circ}}$
在$Rt\triangle AGC$中，$\tan\alpha=\frac{CG}{AG}$
$\therefore CG = AG\cdot\tan\alpha=\frac{1.65}{\tan28^{\circ}}\cdot\tan35^{\circ}\approx\frac{1.65}{0.53}\times0.70\approx2.18(m)$
$\therefore CD = CG + DG\approx2.18 + 1.65\approx3.8(m)$
答:广告牌CD的高度约为3.8m.