《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

1.(2023·南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距（ ）
A.$\frac{x}{\sin\alpha }$米
B.$\frac{x}{\cos\alpha }$米
C.$x\cdot\sin\alpha$米
D.$x\cdot\cos\alpha$米
　　　

答案： B

2.如图，一艘轮船在M处观测到灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测到灯塔P位于南偏西60°方向.若该轮船继续向南航行至离灯塔P最近的位置T处，则此时轮船与灯塔之间的距离PT为__________海里.(结果保留根号)
　　　

答案： $15\sqrt{3}$

3.(2024·甘孜州)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离A处有多远?（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

答案：
解：如图，过点P作PC⊥AB于点C，
在Rt△ACP中，
∵∠A = 37°，AP = 100海里，
∴PC = AP·sinA = 100×sin37°≈100×0.60 = 60(海里)，
AC = AP·cos37°≈100×0.80 = 80(海里).
在Rt△PCB中，
∵∠B = 45°，
∴BC = PC = 60(海里)，
∴AB = AC + BC = 80 + 60 = 140(海里).
答：B处距离A处约有140海里.

4.如图，在滑轮的牵引下，一个滑块沿坡角为18°的斜坡向上移动了15 m，则此时滑块上升的高度是（ ）
A.15 m
B.15sin18° m
C.15cos18° m
D.15tan18° m
　　　

答案： B

5.(自贡中考)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC//AB.BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为______米(结果保留根号).
　　　　

答案： $6\sqrt{2}$

6.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE=10 m，其坡度i1=1∶$\sqrt{3}$，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度i2=1∶4，求斜坡AF的长度.(结果精确到0.01 m，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{17}$≈4.123)
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
∵DE = 10 m，其坡度$i_{1}=1:\sqrt{3}$，
∴在Rt△DCE中，$\tan\angle DEC=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DEC = 30°，
∴$DC=\frac{1}{2}DE = 5$ m.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB = CD = 5 m.
∵斜坡AF的坡度$i_{2}=1:4$，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{1}{4}$，即BF = 4AB = 20 m.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得$AF=\sqrt{AB^{2}+BF^{2}} = 5\sqrt{17}\approx20.62$(m).
答：斜坡AF的长度约为20.62 m.

7.(2024·泸州改编)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A，C相距30 n mile.此时C，D间的距离为__________n mile(计算过程中的数据不取近似值).

答案： $20\sqrt{2}$