《2025年诚成教育学业评价七年级数学下册人教版》

26. 新理念 探究性试题（12 分）如图，MN//EF，C 为两直线间的一点.
（1）如图①，若∠MAC 的平分线与∠EBC 的平分线相交于点 D，∠ACB = 100°，求∠ADB 的度数；
（2）如图②，若∠MAC 的平分线与∠EBC 的平分线相交于点 D，则∠ACB 与∠ADB 有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，若∠MAC 的平分线与∠CBF 的平分线所在的直线相交于点 D，∠ACB 与∠ADB 有何数量关系？证明你的结论.

答案：
解:
(1) 如图①，过点C作CG//MN，过点D作DH//MN.
　
　
∵MN//EF，
　
　
∴MN//CG//DH//EF.
　
　
∴ ∠1 = ∠ADH，∠2 = ∠BDH，
　　　　　　∠MAC = ∠ACG，∠EBC = ∠BCG.
　
　
∵ ∠MAC的平分线与∠EBC的平分线相交于点D，
　
　
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠MAC = $\frac{1}{2}$∠ACG，
　　　　　∠2 = $\frac{1}{2}$∠EBC = $\frac{1}{2}$∠BCG.
　
　
∴∠ADB = ∠ADH + ∠BDH
　　　　　　　　　= ∠1 + ∠2
　　　　　　　　　= $\frac{1}{2}$(∠ACG + ∠BCG)
　　　　　　　　　= $\frac{1}{2}$∠ACB.
　
　
∵∠ACB = 100°，
　
　
∴∠ADB = 50°.
(2) ∠ADB = 180° - $\frac{1}{2}$∠ACB.
　　　　证明如下:如图②，过点C作CG//MN，过点D作DH//MN.
　
　
∵MN//EF，
　
　
∴MN//CG//DH//EF.
　
　
∴ ∠1 = ∠ADH，∠2 = ∠BDH，
　　　　　　∠NAC = ∠ACG，∠FBC = ∠BCG.
　
　
∵ ∠MAC的平分线与∠EBC的平分线相交于点D，
　
　
∴∠1 = $\frac{1}{2}$∠MAC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠EBC.
　
　
∴∠ADB = ∠ADH + ∠BDH
　　　　　　　　= ∠1 + ∠2
　　　　　　　　= $\frac{1}{2}$(∠MAC + ∠EBC)
　　　　　　　　= $\frac{1}{2}$(180° - ∠ACG + 180° - ∠BCG)
　　　　　　　　= $\frac{1}{2}$(360° - ∠ACB)
　　　　　　　　= 180° - $\frac{1}{2}$∠ACB.
(3) ∠ADB = 90° - $\frac{1}{2}$∠ACB.
　　　　证明如下:如图③，过点C作CG//MN，过点D作DH//MN.
　
　
∵MN//EF，
　
　
∴MN//CG//DH//EF.
　
　
∴ ∠1 = ∠ADH，∠2 = ∠BDH，
　　　　　　∠NAC = ∠ACG，∠CBF = ∠BCG.
　
　
∵ ∠MAC的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，
　
　
∴∠CAD = $\frac{1}{2}$∠MAC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠CBF.
　
　
∴∠ADB = 180° - ∠CAD - ∠NAC - ∠BDH
　　　　　　　　= 180° - $\frac{1}{2}$∠MAC - ∠ACG - $\frac{1}{2}$∠CBF
　　　　　　　　= 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠NAC) - ∠ACG - $\frac{1}{2}$∠BCG
　　　　　　　　= 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠ACG) - ∠ACG - $\frac{1}{2}$∠BCG
　　　　　　　　= 180° - 90° + $\frac{1}{2}$∠ACG - ∠ACG - $\frac{1}{2}$∠BCG
　　　　　　　　= 90° - $\frac{1}{2}$(∠ACG + ∠BCG)
　　　　　　　　= 90° - $\frac{1}{2}$∠ACB.
　
　
∴∠ADB = 90° - $\frac{1}{2}$∠ACB.