《2025年诚成教育学业评价七年级数学下册人教版》

24. (8分) 已知$M = \sqrt[2m + n - 3]{m + 3}$是m + 3的算术平方根，$N = \sqrt[n + 2]{n - 2}$是n - 2的立方根，求$(n - m)^{2025}$的值.

答案： 解:$\because \sqrt[2m + n - 3]{m + 3}$是$m + 3$的算术平方根，
$\sqrt[n + 2]{n - 2}$是$n - 2$的立方根，
$\therefore 2m + n - 3 = 2$，$n + 2 = 3$.
$\therefore n = 1$，$m = 2$.
$\therefore (n - m)^{2025}=(1 - 2)^{2025}=-1$.

25. 新理念 探究性试题 (10分) 如图，已知直线$l_1// l_2$，且$l_3$和$l_1$，$l_2$分别交于A，B两点，$l_4$和$l_1$，$l_2$分别交于C，D两点，点P在$l_3$上.
(1) 当点P在A，B两点间运动时，∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的数量关系是否发生变化？并说明理由；
(2) 当点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的数量关系.

答案：
解:
(1)不发生变化.理由如下:
如图①，过点$P$作$PQ// l_{1}$，交$l_{4}$于点$Q$，
则$PQ// l_{1}// l_{2}$.
$\therefore \angle ACP=\angle CPQ$，$\angle BDP=\angle DPQ$.
$\because \angle CPD=\angle CPQ+\angle DPQ$，
$\therefore \angle CPD=\angle ACP+\angle BDP$.
(2)①如图②，当点$P$在直线$l_{1}$上方时，过点
$P$作$PF// l_{2}$交$l_{4}$于点$F$.
$\because l_{1}// l_{2}$，
$\therefore PF// l_{1}$.
$\therefore \angle ACP=\angle CPF$，$\angle BDP=\angle DPF$.
$\therefore \angle CPD=\angle DPF-\angle CPF$
$=\angle BDP-\angle ACP$.
即$\angle CPD=\angle BDP-\angle ACP$；
②如图③，当点$P$在直线$l_{2}$下方时，过点
$P$作$PM// l_{2}$交$l_{4}$于点$M$.
$\because l_{1}// l_{2}$，
$\therefore PM// l_{1}$.
$\therefore \angle ACP=\angle CPM$，$\angle BDP=\angle DPM$.
$\therefore \angle CPD=\angle CPM-\angle DPM$
$=\angle ACP-\angle BDP$.
即$\angle CPD=\angle ACP-\angle BDP$.

26. 新理念 探究性试题 (12分) 如图，在平面直角坐标系中，A(-3b,0)为x轴负半轴上一点，B(0,4b)为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3(b + 1) = 6.
(1) 求点A，B的坐标；
(2) C为y轴负半轴上一点，且三角形ABC的面积为12，求点C的坐标；
(3) 在(2)的条件下，在x轴上是否存在点P，使得三角形PBC的面积等于三角形ABC的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解:
(1)解方程$3(b + 1)=6$，得$b = 1$.
$\therefore$点$A$的坐标为$(-3,0)$，
点$B$的坐标为$(0,4)$.
(2)$\because$点$A$的坐标为$(-3,0)$，
$\therefore OA = 3$.
$\because S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot OA=\frac{1}{2}BC\times3$
$=12$，
$\therefore BC = 8$.
$\because$点$B$的坐标为$(0,4)$，
$\therefore OB = 4$.
$\therefore OC = 4$.
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-4)$.
(3)存在.
$\because$三角形$PBC$的面积等于三角形$ABC$的面积的一半，
$\therefore OP=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{2}$.
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{3}{2},0)$.