《2025年诚成教育学业评价七年级数学下册人教版》

25. 新理念 探究性试题(10分)如图①，AB//CD，E - O - F是直线AB，CD间的一条折线.
(1)求证：∠EOF = ∠BEO + ∠DFO；
(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？证明你的结论；
(3)如果将折一次改为折三次，如图③，则∠BEO，∠EOP，∠OPQ，∠PQF，∠QFD之间会满足怎样的数量关系(直接写出结果，不需证明)？

答案：
解：
(1)证明：过点O作$OM // AB$，如图①.

∴$\angle EOM = \angle BEO$.
∵$AB // CD$，
∴$OM // CD$.
∴$\angle FOM = \angle DFO$.
∴$\angle EOM + \angle FOM = \angle BEO + \angle DFO$.
即$\angle EOF = \angle BEO + \angle DFO$.
(2)$\angle EOP + \angle PFC = \angle BEO + \angle OPF$.
证明：过点O作$OM // AB$，过点P作$PN // CD$，如图②.

∵$AB // CD$，
∴$OM // PN // AB // CD$.
∴$\angle 1 = \angle BEO$，$\angle 2 = \angle 3$，
$\angle PFC = \angle 4$.
∴$\angle 1 + \angle 2 + \angle PFC = \angle BEO + \angle 3 + \angle 4$.
∴$\angle EOP + \angle PFC = \angle BEO + \angle OPF$.
(3)$\angle EOP + \angle PQF = \angle BEO + \angle OPQ + \angle QFD$.

26. 新理念 综合探究试题(10分)如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC在x轴上，点A的坐标是( - 1,4$\sqrt{2}$)，点C的坐标是(3,0).
(1)求点B和点D的坐标；
(2)将这个长方形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？请你写出平移后四个顶点的坐标；
(3)如果点Q以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度在长方形ABCD的边上从点A出发到点C停止，沿着A→D→C的路径运动，那么当点Q的运动时间分别是1秒和4秒时，三角形BCQ的面积各是多少？请你分别求出来.

答案： 解：
(1)根据题意可知点B的坐标是(-1,0)，点D的坐标是$(3,4\sqrt{2})$.
(2)长方形平移后四个顶点的坐标分别是$(-1,4\sqrt{2} - 2)$，$(-1,-2)$，$(3,-2)$，$(3,4\sqrt{2} - 2)$.
(3)运动时间为1秒时，三角形BCQ的面积 =$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$；
运动时间为4秒时，三角形BCQ的面积 =$\frac{1}{2}×4×(4 + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) = 8$.