《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

3. 若函数$y=x^{3}+2x^{2}+mx + 1$是$\mathbf{R}$上的单调函数，则$m$的取值范围是_______.

答案： $\left[\dfrac{4}{3},+\infty\right]$

任务二 判断函数单调性的步骤
[探究活动]
已知函数$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x + 1$，利用导数讨论函数$f(x)$的单调区间时，先求导，得$f'(x)=3ax^{2}+2bx + 2$，再对参数分类讨论.
探究1：若$b = 1$，如何对参数$a$进行讨论？
探究2：若$a = 1$，如何对参数$b$进行分类讨论？
探究3：若$a＞0$且$f'(x)=3ax^{2}+2bx + 2 = 0$的两根分别为$m$，$1$，应如何进行讨论？
[评价活动]

答案： 分$a = 0$与$a\neq0$两种情况讨论。@@先求$\Delta = 4b^{2}-24$，分$\Delta\leqslant0$与$\Delta＞0$，即$-\sqrt{6}\leqslant b\leqslant\sqrt{6}$与$b-\sqrt{6}$或$b＞\sqrt{6}$两种情况讨论。@@分$m＞1$，$m = 1$，$m1$三种情况讨论。

1. 已知函数$f(x)=x^{3}-3ax^{2}+x(a\in\mathbf{R})$，且$f'(1)=0$.
（1）求$a$的值；
（2）求函数$f(x)$的单调区间.

答案： 解：
(1)$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6ax + 1$，$f^{\prime}(1)=3 - 6a + 1 = 0$，解得$a=\dfrac{2}{3}$。@@
(2)由
(1)知$f(x)=x^{3}-2x^{2}+x$，则$f^{\prime}(x)=3x^{2}-4x + 1=(x - 1)(3x - 1)$。令$f^{\prime}(x)=0$，得$x_{1}=1$，$x_{2}=\dfrac{1}{3}$。当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如下表：|$x$|$\left(-\infty,\dfrac{1}{3}\right)$|$\dfrac{1}{3}$|$\left(\dfrac{1}{3},1\right)$|$1$|$(1,+\infty)$| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |$f^{\prime}(x)$|$+$|$0$|$-$|$0$|$+$|$f(x)$|$\nearrow$|$\dfrac{4}{27}$|$\searrow$|$0$|$\nearrow$|所以函数$f(x)$的单调递增区间为$\left(-\infty,\dfrac{1}{3}\right)$，$(1,+\infty)$，单调递减区间为$\left(\dfrac{1}{3},1\right)$。