《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$2a_{n}a_{n - 1}=a_{n - 1}-a_{n}(n\geqslant2,n\in\mathbf{N}^{*})$.
(1)证明：数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是等差数列；
(2)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 证明：由$2a_{n}a_{n - 1}=a_{n - 1}-a_{n}$得若$a_{n}=0$，则$a_{n - 1}=0$，与$a_{1}=1$矛盾，故$a_{n}\neq0$， 将$2a_{n}a_{n - 1}=a_{n - 1}-a_{n}$两边同时除以$a_{n}a_{n - 1}$得$\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n - 1}}=2$， 故数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是以1为首项，2为公差的等差数列。@@解：由
(1)得$\frac{1}{a_{n}}=1 + 2(n - 1)=2n - 1$， 所以$a_{n}=\frac{1}{2n - 1}$。

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=4$，$a_{n}=4-\frac{4}{a_{n - 1}}(n\geqslant2)$，记$b_{n}=\frac{1}{a_{n}-2}$.
(1)求证：数列$\{ b_{n}\}$是等差数列；
(2)求$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 证明：因为$b_{n + 1}-b_{n}=\frac{1}{a_{n + 1}-2}-\frac{1}{a_{n}-2}$ $=\frac{1}{(4-\frac{4}{a_{n}})-2}-\frac{1}{a_{n}-2}=\frac{a_{n}}{2(a_{n}-2)}-\frac{1}{a_{n}-2}=\frac{a_{n}-2}{2(a_{n}-2)}=\frac{1}{2}$， 又$b_{1}=\frac{1}{a_{1}-2}=\frac{1}{2}$， 所以数列$\{b_{n}\}$是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列。@@解：由
(1)知$b_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(n - 1)=\frac{1}{2}n$， 所以$\frac{1}{a_{n}-2}=\frac{n}{2}$。 所以$a_{n}=\frac{2}{n}+2=\frac{2n + 2}{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$。

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=a_{2}=1$，$a_{n}=a_{n - 1}+2(n\geqslant3)$.
(1)判断数列$\{ a_{n}\}$是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：数列$\{a_{n}\}$不是等差数列。理由如下： 当$n\geq3$时，$a_{n}=a_{n - 1}+2$， 即$a_{n}-a_{n - 1}=2$， 而$a_{2}-a_{1}=0$不满足$a_{n}-a_{n - 1}=2(n\geq3)$， 所以$\{a_{n}\}$不是等差数列。@@当$n\geq2$时，$\{a_{n}\}$是等差数列，公差为2。 所以$a_{n}=1 + 2(n - 2)=2n - 3$。 又$a_{1}=1$不适合上式， 所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\begin{cases}1,n = 1\\2n - 3,n\geq2\end{cases}$。