《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 判断下列数列是否为等差数列，若是等差数列，求出首项和公差.
(1) 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n}=3n + 2$；
(2) 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n}=n^{2}+n$.

答案： 解：an + 1 - an = 3(n + 1) + 2 - (3n + 2) = 3(n∈N*)，故该数列为等差数列，首项a1 = 5，公差d = 3。@@解：an + 1 - an = (n + 1)² + (n + 1) - (n² + n) = 2n + 2，故该数列不是等差数列。

2. 已知$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$是等差数列，求证：$\frac{b + c}{a}$，$\frac{a + c}{b}$，$\frac{a + b}{c}$也是等差数列.

答案： 证明：因为1/a，1/b，1/c是等差数列， 所以2/b = 1/a + 1/c，即2ac = b(a + c)。 而(b + c)/a + (a + b)/c = [c(b + c) + a(a + b)]/ac = (c² + a² + b(a + c))/ac = (c² + a² + 2ac)/ac = (c² + a² + 2ac)/[b(a + c)/2] = 2(a + c)/b， 所以(b + c)/a，(a + c)/b，(a + b)/c也是等差数列。