《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-7n - 8$.
(1)数列中为负数的项的个数是________；
(2)该数列的最小项为________.

答案： 7@@-20

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=3n^{2}-28n$.
(1)这个数列的第 4 项是________，第 6 项是________；
(2)$-49$是该数列的第________项；
(3)68 是该数列的项吗？

答案：
(1)根据\(a_{n}=3n^{2}-28n\)， 得\(a_{4}=3\times4^{2}-28\times4=-64\)， \(a_{6}=3\times6^{2}-28\times6=-60\)。
(2)令\(3n^{2}-28n=-49\)， 即\(3n^{2}-28n + 49 = 0\)，解得\(n = 7\)或\(n=\frac{7}{3}\)（舍）。 所以\(-49\)是该数列的第7项。
(3)令\(3n^{2}-28n = 68\)，即\(3n^{2}-28n - 68 = 0\)， 解得\(n=-2\)或\(n=\frac{34}{3}\)，均不是正整数。 所以68不是数列\(\{a_{n}\}\)中的项。

任务二 数列的递推公式
[探究活动]
在“贪吃蛇”的游戏中，设定贪吃蛇从原点出发，沿着如图所示的逆时针方向螺旋式前进，不停地吞食沿途的每一个格点(不包括原点). 已知贪吃蛇的初始长度为 0，并且每吞食一个格点，长度就增加 1 个单位，如它的头部到达点$P_{1}(1,1)$，其长度增加到 2，它的头部到达点$P_{2}(2,2)$，其长度增加到 12.
[评价活动]

探究 1：当贪吃蛇的头部到达点$P_{3}(3,3)$时，它的长度增加到多少？
探究 2：当贪吃蛇的头部到达点$P_{9}(9,9)$时，它的长度增加到多少？

答案： 任务二 【探究活动】 探究1：设贪吃蛇的头部到达点\(P_{n}(n,n)\)时的长度为\(a_{n}\)，则\(a_{1}=2,a_{2}=a_{1}+10 = 12,a_{3}=a_{2}+18 = 30\)。 探究2：由探究1，\(a_{1}=2\)， \(a_{2}=a_{1}+10\)，即\(a_{2}-a_{1}=10\)， \(a_{3}=a_{2}+18\)，即\(a_{3}-a_{2}=18\)， …… 以此类推：\(a_{n}-a_{n - 1}=8n - 6(n\geqslant2)\)， 则有\(a_{n}=(a_{n}-a_{n - 1})+(a_{n - 1}-a_{n - 2})+\cdots+(a_{2}-a_{1})+a_{1}=4n^{2}-2n\)， 当\(n = 9\)时，有\(a_{9}=306\)。