《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 为了参加学校的长跑比赛，高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划. 已知后一天的跑步路程都是在前一天的基础上增加相同路程. 若小李同学前三天共跑了3 600 m，最后三天共跑了10 800 m，则这15天小李同学总共跑的路程为 （ ）
A. 34 000 m
B. 36 000 m
C. 38 000 m
D. 40 000 m

答案： B 解析：根据题意，知小李同学每天跑步的路程为等差数列，设为$\{a_{n}\}$。$a_{1}+a_{2}+a_{3}=3a_{2}=3600$，故$a_{2}=1200$；$a_{13}+a_{14}+a_{15}=3a_{14}=10800$，故$a_{14}=3600$。所以$S_{15}=\frac{1}{2}(a_{1}+a_{15})×15=\frac{1}{2}(a_{2}+a_{14})×15 = 36000$。故选B。

2. 在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列. 已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有 （ ）
A. 300个
B. 320个
C. 340个
D. 360个

答案： B 解析：由题意，每层摆放的苹果数构成等差数列$\{a_{n}\}$，其中$n = 16$，$a_{8}+a_{9}=40$，所以$S_{16}=\frac{16(a_{1}+a_{16})}{2}=\frac{16(a_{8}+a_{9})}{2}=\frac{16×40}{2}=320$。故选B。

3. 一个剧场共有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则该剧场的总座位数为________.

答案： 820 解析：因为剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，所以20排座位组成以60为首项，-2为公差的等差数列。所以$S_{20}=20×60+\frac{20×19}{2}×(-2)=820$。

任务二 等差数列前 $n$ 项和的最值问题
[探究活动]
已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前5项依次为－8，－5，－2，1，4. 在等差数列$\{ b_{n}\}$中，$b_{1}=10$，$d = - 3$.
探究1：数列$\{ a_{n}\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最大值还是最小值，$n$ 为多少时取得？
探究2：数列$\{ b_{n}\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最大值还是最小值，$n$ 为多少时取得？

答案： 当$n = 3$时，$S_{n}$取得最小值。
@@当$n = 4$时，$S_{n}$取得最大值。

1. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=29$，$S_{10}=S_{20}$，则数列$\{ a_{n}\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最大值为 （ ）
A. $S_{15}$
B. $S_{16}$
C. $S_{15}$ 或 $S_{16}$
D. $S_{17}$

答案： A 解析：因为$a_{1}=29$，$S_{10}=S_{20}$，所以$10a_{1}+\frac{10×9}{2}d=20a_{1}+\frac{20×19}{2}d$，解得$d=-2$。所以$S_{n}=29n+\frac{n(n - 1)}{2}×(-2)=-n^{2}+30n=-(n - 15)^{2}+225$。所以当$n = 15$时，$S_{n}$取得最大值。

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=7$，公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_{n}$，当且仅当 $n = 8$ 时 $S_{n}$ 取得最大值，则 $d$ 的取值范围为________.

答案： $(-1,-\frac{7}{8})$ 解析：由题意，当且仅当$n = 8$时$S_{n}$有最大值，可得$\begin{cases}d0 \\ a_{8}＞0 \\ a_{9}0\end{cases}$，即$\begin{cases}d0 \\ 7 + 7d＞0 \\ 7 + 8d0\end{cases}$，解得$-1d-\frac{7}{8}$。

3. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $a_{1}=25$，$S_{17}=S_{9}$，数列 $\{ a_{n}\}$ 前多少项和最大？

答案： 解：（方法一）因为$a_{1}=25$，$S_{17}=S_{9}$，所以$17a_{1}+\frac{17×16}{2}d=9a_{1}+\frac{9×8}{2}d$，解得$d=-2$。从而$S_{n}=25n+\frac{n(n - 1)}{2}×(-2)=-n^{2}+26n=-(n - 13)^{2}+169$。故数列$\{a_{n}\}$的前13项和最大。 （方法二）由方法一得$d=-2$。因为$a_{1}=25＞0$，由$\begin{cases}a_{n}=25-2(n - 1)\geq0 \\ a_{n + 1}=25-2n\leq0\end{cases}$，得$\begin{cases}n\leq13\frac{1}{2} \\ n\geq12\frac{1}{2}\end{cases}$。所以当$n = 13$时，$S_{n}$有最大值，即数列$\{a_{n}\}$的前13项和最大。