《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1.（多选）已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2n + 5$，则此数列 （ ）
A. 是公差为$2$的递增等差数列
B. 是公差为$2$的递减等差数列
C. 是首项为$7$的递减等差数列
D. 是首项为$7$的递增等差数列

答案： AD

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，首项$a_{1}=5$，公差$d = 3$，则当$a_{n}=2024$时，$n$等于 （ ）
A. $671$
B. $672$
C. $673$
D. $674$

答案： D

1.（多选）下列说法正确的是 （ ）
A. 若$a - b = b - c$，则$a$，$b$，$c$成等差数列
B. 若$a_{n}-a_{n - 1}=n(n\in\mathbf{N}^{*}$且$n ＞ 1)$，则$\{ a_{n}\}$是等差数列
C. 等差数列是相邻两项中的后项与前项之差都等于同一个常数的数列
D. 等差数列的公差是该数列中任意两项的差

答案： AC@@解析：对于A，由a - b = b - c，可得a + c = 2b，因此a，b，c成等差数列，A正确；对于B，n不是固定常数，该数列不是等差数列，B错误；对于C，根据等差数列的定义可知，C正确；对于D，应为相邻两项。

2. 若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，且$a_{n}=an^{2}+n$，则实数$a =$________.

答案： 0@@解析：因为{an}是等差数列，所以an + 1 - an为常数，所以[a(n + 1)² + (n + 1)] - (an² + n) = 2an + a + 1为常数，所以2a = 0，所以a = 0。

3. 若$m$和$2n$的等差中项为$4$，$2m$和$n$的等差中项为$5$，则$m$与$n$的等差中项是________.

答案： 3@@解析：由m和2n的等差中项为4，得m + 2n = 8。 由2m和n的等差中项为5，得2m + n = 10。 两式相加，得m + n = 6。所以m与n的等差中项为(m + n)/2 = 6/2 = 3。

任务二 等差数列的通项公式
[探究活动]
我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）. 二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始. 每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），以冬至的晷长为首项，夏至的晷长为最后一项，按图中顺时针方向，由每个节气的晷长构成的数列为$\{ a_{n}\}$.

探究 1：数列$\{ a_{n}\}$是等差数列吗？
探究 2：相邻两个节气晷长减少的量是多少？
探究 3：春分的晷长为多少？

答案： 因为相邻两个节气晷长减少的量相同，所以数列{an}是等差数列。
@@由题意知，等差数列{an}，公差为d，则a1 = 135，a13 = 15，解得d = - 10。 所以相邻两个节气晷长减少的量为一尺。
@@因为a1 = 135，d = - 10，所以an = - 10n + 145，a7 = - 10×7 + 145 = 75。所以春分的晷长为七尺五寸。