《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

任务二 用数学归纳法证明与数列相关的等式
[探究活动]
观察下列等式：
$1 = 1$，
$2 + 3 + 4 = 9$，
$3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25$，
$4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49$，
……
探究1：按照以上式子的规律，你能写出第5个等式吗？试猜想第$n(n\in\mathbf{N}^{*})$个等式.
探究2：如果用数学归纳法证明上面的猜想，第一步应验证什么？
探究3：用数学归纳法证明上面的猜想时，应怎样做归纳假设？

答案： **探究1**：第5个等式为$(5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 9^{2})$；第\(n\)个等式为$(n+(n + 1)+(n + 2)+\cdots+(3n - 2)=(2n - 1)^{2},n\in N^{*})$。 - **探究2**：应验证当(n = 1)时，猜想式的左边与右边相等。 - **探究3**：假设当$(n = k(k\in N^{*})$时，猜想式成立，即$(k+(k + 1)+(k + 2)+\cdots+(3k - 2)=(2k - 1)^{2}(k\geqslant1,k\in N^{*})$。