《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，若$a_{3}=\frac{1}{2},a_{9}=2$，则$a_{15}=$ ________.

答案： 8

2. 已知公比为$q$的等比数列$\{a_{n}\}$，$a_{5}+a_{9}=q$，则$a_{6}(a_{2}+2a_{6}+a_{10})$的值为 ________.

答案： 1

3. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{7}a_{11}=6,a_{4}+a_{14}=5$，求$\frac{a_{20}}{a_{10}}$.

答案： 解：设公比为$q$。 因为$a_{7}a_{11}=a_{4}a_{14}=6$，$a_{4}+a_{14}=5$， 所以$\begin{cases}a_{4}=2, \\ a_{14}=3\end{cases}$或$\begin{cases}a_{4}=3, \\ a_{14}=2\end{cases}$，所以$q^{10}=\frac{3}{2}$或$q^{10}=\frac{2}{3}$。 所以$\frac{a_{20}}{a_{10}}=q^{10}=\frac{3}{2}$或$\frac{a_{20}}{a_{10}}=\frac{2}{3}$。

任务二 等比数列的实际应用
[探究活动]
《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺. 蒲生日自半，莞生日自倍. 意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.
探究1：设蒲、莞每天长高的尺数分别构成数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，你能写出这两个数列的通项公式吗？
探究2：到第几天，莞长高的长度是蒲长高长度的64倍？

答案： 探究 1：由题意，数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$都是等比数列，且$a_{1}=4$，$q=\frac{1}{2}$，$b_{1}=1$，$q' = 2$，所以$a_{n}=4\times(\frac{1}{2})^{n - 1}=(\frac{1}{2})^{n - 3}$，$b_{n}=1\times2^{n - 1}=2^{n - 1}$。 探究 2：由探究 1，得$\frac{2^{n - 1}}{(\frac{1}{2})^{n - 3}}=64$，所以$n = 5$，即到第 5 天，莞长高的长度是蒲长高长度的 64 倍。

1. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后 ________ min，该病毒占据内存64 MB（1 MB = $2^{10}$ KB）.

答案： 45

2. 2021年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a $m^{3}$和25a $m^{3}$，甲林场木材存量每年比上一年递增25％，而乙林场木材存量每年比上一年递减20％.
(1)哪一年两林场木材的总存量相等？
(2)两林场木材的总量到2025年能否翻一番？

答案： 解：
(1)由题意可得$16a(1 + 25\%)^{n - 1}=25a(1 - 20\%)^{n - 1}$， 解得$n = 2$。 故到 2023 年两林场木材的总存量相等。
(2)令$n = 5$，则$a_{5}=16a(\frac{5}{4})^{4}+25a(\frac{4}{5})^{4}2(16a + 25a)$， 故到 2025 年不能翻一番。