《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 若曲线$y=\frac{x + 1}{x - 1}$在点$(3,2)$处的切线与直线$ax + y + 1 = 0$垂直，则$a$等于（ ）
A. 2
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. -2

答案： D 解析：因为$y=\frac{x + 1}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$，所以$y'=-\frac{2}{(x - 1)^{2}}$，所以$y$在$x = 3$处的导数为$-\frac{1}{2}$。所以$-a\times(-\frac{1}{2})=-1$，即$a=-2$。

2. 已知函数$f(x)=ax^{2}+bx + 3(a\neq0)$，其导函数$f'(x)=2x - 8$.
(1) 求$a,b$的值；
(2) 设函数$g(x)=\mathrm{e}^{x}\sin x + f(x)$，求曲线$g(x)$在$x = 0$处的切线方程.

答案： 解：
(1)因为$f(x)=ax^{2}+bx + 3(a\neq0)$，所以$f'(x)=2ax + b$。又知$f'(x)=2x - 8$，所以$a = 1$，$b=-8$。@@
(2)由
(1)可知$g(x)=e^{x}\sin x+x^{2}-8x + 3$，所以$g'(x)=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+2x - 8$，所以$g'(0)=e^{0}\sin 0+e^{0}\cos 0+2\times0 - 8=-7$。又知$g(0)=3$，所以曲线$g(x)$在$x = 0$处的切线方程为$y - 3=-7(x - 0)$，即$7x + y - 3 = 0$。