《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 设函数 $f(x)$ 的图象如图所示，则导函数 $f^{\prime}(x)$ 的图象可能为 （ ）

答案： C 解析：因为$f(x)$在$(-\infty,1)$，$(4,+\infty)$上单调递减，在$(1,4)$上单调递增，所以当$x1$或$x＞4$时，$f'(x)0$；当$1x4$时，$f'(x)＞0$。故选C。

2.（多选）已知函数 $f(x)$ 的导函数的图象如图所示，则 （ ）

A. 函数 $y = f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递增
B. 函数 $y = f(x)$ 在 $(5,+\infty)$ 上单调递增
C. $f^{\prime}(3)f^{\prime}(5)$
D. $f(-1)f(3)$

答案： BD 解析：当$x\in(-\infty,-1)$时，$f'(x)0$，则函数$y = f(x)$在$(-\infty,-1)$上单调递减，故A项错误；同理，函数$y = f(x)$在$(5,+\infty)$上单调递增，故B项正确；由题图可知，$f'(3)=f'(5)=0$，故C错误；函数$y = f(x)$在$[-1,3]$上单调递增，则$f(-1)f(3)$，故D正确。故选BD。

3. 已知函数 $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d$，其图象如图所示，$f^{\prime}(x)$ 为函数 $f(x)$ 的导函数，则不等式 $xf^{\prime}(x)0$ 的解集为______.

答案： $\{x|x-\sqrt{3},或0x\sqrt{3}\}$ 解析：由题图可知$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt{3})$和$(\sqrt{3},+\infty)$上单调递增，在$(-\sqrt{3},\sqrt{3})$上单调递减，所以当$x\in(-\infty,-\sqrt{3})$和$(\sqrt{3},+\infty)$时，$f'(x)＞0$；当$x\in(-\sqrt{3},\sqrt{3})$时，$f'(x)0$。故$xf'(x)0$的解集为$\{x|x-\sqrt{3},或0x\sqrt{3}\}$。

任务二 利用导数判断函数的单调性或求单调区间
[探究活动]
已知函数 $f(x)=\frac{1}{x\ln x}(x＞0且x\neq1)$.
探究 1：求出该函数的导数.
探究 2：当 $x$ 取何值时，$f^{\prime}(x)＞0$？当 $x$ 取何值时，$f^{\prime}(x)0$？
探究 3：函数 $f(x)$ 的单调递增区间、单调递减区间分别是什么？
[评价活动]

答案： $f'(x)=-\frac{\ln x + 1}{x^2\ln^2 x}$。@@$f'(x)=-\frac{\ln x + 1}{x^2\ln^2 x}$，令$f'(x)＞0$，即$\ln x + 10$，所以$0x\frac{1}{e}$；令$f'(x)0$，得$x＞\frac{1}{e}$且$x\neq1$。@@由探究2，得$f(x)$的单调递增区间为$(0,\frac{1}{e})$；单调递减区间为$(\frac{1}{e},1)$，$(1,+\infty)$。