《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1)$(\sin\frac{\pi}{3})'=\cos\frac{\pi}{3}$. （ ）
(2)$(2^{x})'=x2^{x - 1}$. （ ）
(3)$(\ln x)'=\frac{1}{x}$. （ ）

答案： ×@@×@@√

（多选）下列求导正确的是 （ ）
A. 若$y=\ln 2$，则$y'=\frac{1}{2}$
B. 若$y=\frac{1}{x^{2}}$，则$y'\vert_{x = 3}=-\frac{2}{27}$
C. 若$y=2^{x}$，则$y'=2^{x}\ln 2$
D. 若$y=\log_{2}x$，则$y'=\frac{1}{x\ln 2}$

答案： BCD

任务型课堂
任务一 利用导数公式求函数的导数
[探究活动]
下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数：
$f(x)=x\Rightarrow f'(x)=1 = 1x^{1 - 1}$；
$f(x)=x^{2}\Rightarrow f'(x)=2x = 2x^{2 - 1}$；
$f(x)=x^{3}\Rightarrow f'(x)=3x^{2}=3x^{3 - 1}$；
$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\Rightarrow f'(x)=-x^{-2}=-x^{-1 - 1}$；
$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$.
探究1：你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？
探究2：如何求函数$f(x)=\sqrt[n]{x^{m}}$的导数？

答案： 通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即$(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$。
@@首先把函数化为$f(x)=x^{\frac{m}{n}}$，再利用幂函数的导数公式得$f'(x)=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$。

[评价活动]
求下列函数的导数。

(1)$y=\frac{1}{x^{4}}$的导数为________；
(2)$y = 7^{x}$的导数为________；
(3)$y=\log_{5}x$的导数为________；
(4)$y = x^{12}$的导数为________；
(5)$y=\sqrt[5]{x^{3}}$的导数为________；
(6)$g(x)=\log_{3}x$的导数为________.

答案： $y'=-\frac{4}{x^{5}}$ 解析：$y'=(\frac{1}{x^{4}})'=(x^{-4})'=-4x^{-5}=-\frac{4}{x^{5}}$。
@@$y'=7^{x}\ln7$ 解析：$y'=(7^{x})'=7^{x}\ln7$。
@@$y'=\frac{1}{x\ln5}$ 解析：$y'=(\log_{5}x)'=\frac{1}{x\ln5}$。
@@$y'=12x^{11}$ 解析：$y'=(x^{12})'=12x^{11}$。
@@$y'=\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$ 解析：$y'=(\sqrt[5]{x^{3}})'=(x^{\frac{3}{5}})'=\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$。
@@$g'(x)=\frac{1}{x\ln3}$ 解析：$g'(x)=\frac{1}{x\ln3}$。