《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 函数 $y = x+\ln x$ 的单调递增区间为（ ）
A. $(0,+\infty)$
B. $(-\infty,-1)$，$(1,+\infty)$
C. $(-1,0)$
D. $(-1,1)$

答案： A 解析：函数$y = x + \ln x$的定义域为$(0,+\infty)$。 因为$y'=(x + \ln x)' = 1+\frac{1}{x}$， 又$x＞0$，所以$y'＞0$恒成立。 所以$y = x + \ln x$的单调递增区间为$(0,+\infty)$。

2.（多选）下列选项中，在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增的函数有 （ ）
A. $f(x)=x^{4}$
B. $f(x)=x - \sin x$
C. $f(x)=x\text{e}^{x}$
D. $f(x)=\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}-2x$

答案： BD 解析：对于A选项，由$f(x)=x^4$得$f'(x)=4x^3$，当$x＞0$时，$f'(x)=4x^3＞0$，则$f(x)$单调递增；当$x0$时，$f'(x)=4x^30$，则$f(x)$单调递减，故排除A。对于B选项，由$f(x)=x - \sin x$得$f'(x)=1 - \cos x\geq0$，显然恒成立且不恒为零，所以$f(x)=x - \sin x$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，故B满足题意。对于C选项，由$f(x)=xe^x$得$f'(x)=(1 + x)e^x$，当$x＞-1$时，$f'(x)＞0$，则$f(x)$单调递增；当$x-1$时，$f'(x)0$，则$f(x)$单调递减，故排除C。对于D选项，由$f(x)=e^x - e^{-x}-2x$，得$f'(x)=e^x + e^{-x}-2\geq2\sqrt{e^x\cdot e^{-x}}-2 = 0$，显然恒成立且不恒为零，所以$f(x)=e^x - e^{-x}-2x$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，故D满足题意。故选BD。

3. 已知函数 $f(x)=\ln x - ax^{2}+(2 - a)x$，讨论 $f(x)$ 的单调性.

答案： 解：$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$。 $f'(x)=\frac{1}{x}-2ax+(2 - a)=\frac{-(2x + 1)(ax - 1)}{x}$。 ①若$a\leq0$，则$f'(x)＞0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。 ②若$a＞0$，由$f'(x)=0$得$x=\frac{1}{a}$，且当$x\in(0,\frac{1}{a})$时，$f'(x)＞0$；当$x\in(\frac{1}{a},+\infty)$时，$f'(x)0$。 所以$f(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上单调递增，在$(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递减。

1. 已知函数 $f(x)=2x^{2}-\ln x$，若 $f(x)$ 在区间 $(2m,m + 1)$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围.

答案： 解：$f(x)=2x^2 - \ln x$的定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=4x-\frac{1}{x}$。 由$f'(x)＞0$，得$4x-\frac{1}{x}＞0$，解得$x＞\frac{1}{2}$。 所以$f(x)$的单调递增区间为$(\frac{1}{2},+\infty)$。 因为$f(x)$在区间$(2m,m + 1)$上单调递增，所以$(2m,m + 1)\subseteq(\frac{1}{2},+\infty)$。 所以$\begin{cases}m + 1＞2m \\ 2m\geq\frac{1}{2} \end{cases}$，解得$\frac{1}{4}\leq m1$。 因此，实数$m$的取值范围是$[\frac{1}{4},1)$。