《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题1：等比数列是怎样定义的？

答案： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0）。

问题2：等比数列的判定方法有哪些？

答案： （1）定义法；（2）通项公式法；（3）等比中项法。

问题3：等比中项与等差中项有哪些异同？

答案： 等比中项与等差中项的异同，对比如下： |对比项|等差中项|等比中项| | ---- | ---- | ---- | |定义|若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项|若a，G，b成等比数列，则G叫做a，b的等比中项| |定义式|A - a = b - A|$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$| |公式|$A=\frac{a + b}{2}$|$G = \pm\sqrt{ab}$| |个数|a与b的等差中项唯一|a与b的等比中项有两个，且互为相反数| |存在条件|任意两个数a与b都有等差中项|只有当ab＞0时，a与b才有等比中项|

1. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n + 1}=2a_{n}+1$.
(1)证明：数列$\{a_{n}+1\}$是等比数列；
(2)求数列$\{a_{n}\}$的通项公式.

答案： 证明：因为$a_{n + 1}=2a_{n}+1$， 所以$a_{n + 1}+1 = 2(a_{n}+1)$。 由$a_{1}=1$，知$a_{1}+1\neq0$，从而$a_{n}+1\neq0$。 所以$\frac{a_{n + 1}+1}{a_{n}+1}=2(n\in N^{*})$。 所以数列$\{a_{n}+1\}$是等比数列。@@解：由（1）知$\{a_{n}+1\}$是以$a_{1}+1 = 2$为首项，2为公比的等比数列。 所以$a_{n}+1 = 2\times2^{n - 1}=2^{n}$， 即$a_{n}=2^{n}-1$。

2. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=-1$，且$a_{n}=3a_{n - 1}-2n + 3(n\geqslant2)$.
(1)求$a_{2},a_{3}$，并证明数列$\{a_{n}-n\}$是等比数列；
(2)求数列$\{a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：$a_{2}=3a_{1}-2\times2 + 3=-4$， $a_{3}=3a_{2}-2\times3 + 3=-15$。 证明如下： $\frac{a_{n + 1}-(n + 1)}{a_{n}-n}=\frac{3a_{n}-2(n + 1)+3-(n + 1)}{a_{n}-n}$ $=\frac{3a_{n}-3n}{a_{n}-n}=3(n\in N^{*})$。 又$a_{1}-1=-2$，所以数列$\{a_{n}-n\}$是以 - 2为首项，3为公比的等比数列。@@由（1）知$a_{n}-n=-2\times3^{n - 1}$， 所以$a_{n}=n - 2\times3^{n - 1}(n\in N^{*})$。