《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题1：常用的等比数列的前n项和公式有几个？分别在已知什么条件时应用？

答案： 当q≠1时，等比数列的前n项和公式有两个。若已知a₁，q，n，用Sₙ = $\frac{a₁(1 - qⁿ)}{1 - q}$较为方便；若已知a₁，q，aₙ，用Sₙ = $\frac{a₁ - aₙq}{1 - q}$较为方便。

问题2：应用等比数列的前n项和公式时要注意的问题是什么？

答案： 注意分为公比q = 1和q≠1两种情形。

问题3：在等比数列$\{a_{n}\}$中，依次n项之和$S_{n}$，$S_{2n}-S_{n}$，$S_{3n}-S_{2n}$，$\cdots$构成的数列是等比数列吗？

答案： 如果公比q≠ - 1，Sₙ，S₂ₙ - Sₙ，S₃ₙ - S₂ₙ，…构成等比数列。

1. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，若$a_{1}+a_{2}=40$，$a_{3}+a_{4}=60$，那么$a_{5}+a_{6}$等于 （ ）
A. 80
B. 90
C. 95
D. 100

答案： B 解析：因为a₁ + a₂ = a₁(1 + q) = 40，a₃ + a₄ = a₃(1 + q) = 60，所以q² = $\frac{a₃(1 + q)}{a₁(1 + q)}$ = $\frac{3}{2}$，所以a₅ + a₆ = q²(a₃ + a₄) = $\frac{3}{2}$×60 = 90。

2. [2023·全国甲卷（文）]记$S_{n}$为等比数列$\{a_{n}\}$的前n项和. 若$8S_{6}=7S_{3}$，则$\{a_{n}\}$的公比为_______.

答案： -$\frac{1}{2}$ 解析：若q = 1，由8S₆ = 7S₃得8·6a₁ = 7·3a₁，则a₁ = 0，不合题意。 当q≠1时，因为8S₆ = 7S₃，所以8·$\frac{a₁(1 - q⁶)}{1 - q}$ = 7·$\frac{a₁(1 - q³)}{1 - q}$，即8(1 - q⁶) = 7(1 - q³)，即8(1 + q³)(1 - q³) = 7(1 - q³)，即8(1 + q³) = 7，解得q = -$\frac{1}{2}$。

3. 已知等比数列$\{a_{n}\}$.
(1)若$q = 2$，$S_{4}=1$，求$S_{8}$；
(2)若$a_{1}+a_{3}=10$，$a_{4}+a_{6}=\frac{5}{4}$，求$a_{4}$和$S_{6}$；
(3)前10项和$S_{10}=10$，前20项和$S_{20}=30$，求$S_{30}$.

答案： 解： - （1）（方法一）因为q = 2，S₄ = 1，所以$\frac{a₁(1 - 2⁴)}{1 - 2}$ = 1，即a₁ = $\frac{1}{15}$。所以S₈ = $\frac{a₁(1 - q⁸)}{1 - q}$ = $\frac{\frac{1}{15}×(1 - 2⁸)}{1 - 2}$ = 17。 - （方法二）因为S₄ = $\frac{a₁(1 - q⁴)}{1 - q}$ = 1，且q = 2，所以S₈ = $\frac{a₁(1 - q⁸)}{1 - q}$ = $\frac{a₁(1 - q⁴)}{1 - q}$·(1 + q⁴) = 1×(1 + 2⁴) = 17。 - （2）设等比数列{aₙ}的公比为q。由题意得$\begin{cases}a₁ + a₁q² = 10\\a₁q³ + a₁q⁵ = \frac{5}{4}\end{cases}$，即$\begin{cases}a₁(1 + q²) = 10,①\\a₁q³(1 + q²) = \frac{5}{4}.②\end{cases}$因为a₁≠0，1 + q²≠0，所以②÷①得，q³ = $\frac{1}{8}$，即q = $\frac{1}{2}$。所以a₁ = 8。所以a₄ = a₁q³ = 8×$(\frac{1}{2})^3$ = 1，S₆ = $\frac{a₁(1 - q⁶)}{1 - q}$ = $\frac{8×[1 - (\frac{1}{2})^6]}{1 - \frac{1}{2}}$ = $\frac{63}{4}$。 - （3）因为S₁₀，S₂₀ - S₁₀，S₃₀ - S₂₀仍成等比数列，又S₁₀ = 10，S₂₀ = 30，所以S₃₀ - S₂₀ = S₃₀ - 30 = $\frac{(S₂₀ - S₁₀)²}{S₁₀}$ = $\frac{(30 - 10)²}{10}$，即S₃₀ = 70。

问题1：推导等比数列的前n项和公式时用到的方法是什么？

答案： 错位相减法。

问题2：解决等比数列的实际应用问题的关键是什么？

答案： 从实际问题中抽象出等比数列的模型，利用等比数列前n项和公式列出方程，求得运算结果。