《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 已知$\{ a_{n}\}$为等差数列，$a_{4}+a_{7}+a_{10}=30$，则$a_{3}-2a_{5}$的值为 （ ）
A. 10
B. $-10$
C. 15
D. $-15$

答案： B@@解析：因为$a_{4}+a_{7}+a_{10}=3a_{7}=30$，所以$a_{7}=10$，所以$a_{3}-2a_{5}=a_{3}-(a_{3}+a_{7})=-a_{7}=-10$。

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=70$，求$a_{1}+a_{9}$．

答案： 解：由等差数列的性质，得$a_{3}+a_{7}=a_{4}+a_{6}=2a_{5}=a_{1}+a_{9}$，所以$a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=5a_{5}=70$，于是$a_{5}=14$，故$a_{1}+a_{9}=2a_{5}=28$。

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$都是等差数列，且$a_{1}=2$，$b_{1}=-3$，$a_{7}-b_{7}=17$，求$a_{19}-b_{19}$．

答案： 解：令$c_{n}=a_{n}-b_{n}$。因为$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$都是等差数列，所以$\{c_{n}\}$也是等差数列。设数列$\{c_{n}\}$的公差为$d$。由已知得$c_{1}=a_{1}-b_{1}=5$，$c_{7}=17$，则$5 + 6d=17$，解得$d = 2$。故$a_{19}-b_{19}=c_{19}=5+18×2=41$。

任务二 等差数列的实际应用
[探究活动]
《张丘建算经》中有这样一个问题：今有某郡守赏赐下属10人，官职依次递降，赏赐随官职递降依次等差递减，前2人共得赏赐190贯，后3人共得赏赐60贯．
探究1：前2人所得赏赐相差多少贯？
探究2：第5人所得赏赐为多少贯？

答案： 探究1：由题意，设等差数列为$\{a_{n}\}$，公差为$d$，则可得$a_{1}+a_{2}=190$，$a_{8}+a_{9}+a_{10}=60$，即$\begin{cases}2a_{1}+d=190 \\3a_{1}+24d=60\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=100 \\d=-10\end{cases}$，则前2人所得赏赐相差10贯。 探究2：由探究1，$a_{1}=100$，$d=-10$，所以$a_{n}=-10n + 110$。故$a_{5}=-50 + 110=60$，即第5人所得赏赐为60贯。

1. 某公司经销一种产品，第1年可获利200万元. 从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元. 按照这一规律，如果公司不引进新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将会亏损？

答案： 解：设第$n$年的利润为$a_{n}$万元，则$a_{1}=200$，$a_{n}-a_{n - 1}=-20(n\geq2,n\in N^{*})$。所以每年的利润可构成一个等差数列$\{a_{n}\}$，且公差$d=-20$。所以$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=200+(n - 1)(-20)=220-20n$。若$a_{n}0$，则该公司经销这一产品将会亏损。由$a_{n}=220-20n0$，得$n＞11$。故从第12年起，该公司经销这一产品将会亏损。