《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

5.（1）已知等比数列的前 3 项依次为$x,2x + 2,3x + 3$，求实数$x$的值；
（2）已知等比数列$\{a_{n}\}$，$a_{2}a_{3}a_{4}=64$，$a_{3}+a_{6}=36$，求$a_{2}$和$a_{6}$的等比中项.

答案： 5. 解： - （1）因为等比数列的前3项依次为$x$，$2x + 2$，$3x + 3$，所以$x(3x + 3)=(2x + 2)^{2}$，解得$x=-1$或$x=-4$。又因为当$x=-1$时，$2x + 2=3x + 3 = 0$不合题意，所以实数$x$的值为 - 4。 - （2）因为$\{a_{n}\}$是等比数列，所以$a_{3}$是$a_{2}$和$a_{4}$的等比中项，即$a_{3}^{2}=a_{2}a_{4}$。所以$a_{3}^{3}=64$，解得$a_{3}=4$，从而$a_{6}=32$。设$\{a_{n}\}$的公比为$q$，则$\begin{cases}a_{1}q^{2}=4\\a_{1}q^{5}=32\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=1\\q = 2\end{cases}$。所以$a_{2}=a_{1}q = 2$。设$a_{2}$和$a_{6}$的等比中项为$G$，则$G^{2}=a_{2}a_{6}=64$，所以$G=\pm8$。

1. 已知$a,b,c$成等比数列，求证：$a^{2}+b^{2},ab + bc,b^{2}+c^{2}$成等比数列.

答案： 1. 证明：因为$a$，$b$，$c$成等比数列，所以$b$是$a$，$c$的等比中项，则$b^{2}=ac$，且$a$，$b$，$c$均不为零。又$(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})=a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{4}+b^{2}c^{2}=a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}$，$(ab + bc)^{2}=a^{2}b^{2}+2ab^{2}c + b^{2}c^{2}=a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}$，所以$(ab + bc)^{2}=(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})$，即$ab + bc$是$a^{2}+b^{2}$与$b^{2}+c^{2}$的等比中项。所以$a^{2}+b^{2}$，$ab + bc$，$b^{2}+c^{2}$成等比数列。

2. 数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\frac{n + 2}{n}S_{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$，求证：数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为等比数列.

答案：  2. 证明：因为$\frac{S_{n + 1}}{n + 1}=\frac{S_{n}+a_{n + 1}}{n + 1}=\frac{S_{n}+\frac{n + 2}{n}S_{n}}{n + 1}=\frac{\frac{2n + 2}{n}S_{n}}{n + 1}=2\times\frac{S_{n}}{n}$，所以$\frac{\frac{S_{n + 1}}{n + 1}}{\frac{S_{n}}{n}}=2$。又$\frac{S_{1}}{1}=\frac{a_{1}}{1}=1$，所以数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$是以1为首项，2为公比的等比数列。