《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题1：等差数列的通项公式如何表达？此公式是用什么方法证明的？

答案： 若一个等差数列$\{a_n\}$，首项是$a_1$，公差为$d$，则$a_n = a_1 + (n - 1)d$。此公式可用累加法证明。

问题2：等差数列的通项公式有何用途？

答案： 可以利用通项公式求等差数列中任意一项的数值。

问题3：等差数列的“下标和”性质是如何表述的？

答案： 若数列$\{a_n\}$是等差数列，$m,n,p,q\in N^*$，且$m + n = p + q$，则$a_m + a_n = a_p + a_q$，反之不一定成立。特别地，若$m + n = 2p$，则$a_m + a_n = 2a_p$。

1. 在等差数列$\{a_{n}\}$中，若$a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}+a_{10}=80$，则$a_{7}-\frac{1}{2}a_{8}$等于 （ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

答案： C 解析：因为$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = 5a_6 = 80$，所以$a_6 = 16$。 所以$a_7 - \frac{1}{2}a_8 = \frac{1}{2}(2a_7 - a_8) = \frac{1}{2}(a_6 + a_8 - a_8) = \frac{1}{2}a_6 = 8$。

2. 在等差数列$20,17,14,11,\cdots$中，第一个负数项是 （ ）
A. 第7项
B. 第8项
C. 第9项
D. 第10项

答案： B 解析：因为$a_1 = 20$，$d = -3$，所以$a_n = 20 + (n - 1)\times(-3) = 23 - 3n$。 所以$a_7 = 2＞0$，$a_8 = -10$。

3. 在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{6}=12,a_{18}=36$，则数列$\{a_{n}\}$的通项公式为________.

答案： $a_n = 2n$ 解析：设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$。由题意可得$\begin{cases}a_1 + 5d = 12\\a_1 + 17d = 36\end{cases}$，解得$\begin{cases}d = 2\\a_1 = 2\end{cases}$。 所以$a_n = 2 + (n - 1)\times2 = 2n$。

4. 已知等差数列$\{a_{n}\}$，$a_{2}+a_{6}+a_{10}=1$，则$a_{4}+a_{8}=$________.

答案： $\frac{2}{3}$ 解析：根据等差数列的性质得$a_2 + a_{10} = a_4 + a_8 = 2a_6$。 由$a_2 + a_6 + a_{10} = 1$，得$3a_6 = 1$，解得$a_6 = \frac{1}{3}$。 所以$a_4 + a_8 = 2a_6 = \frac{2}{3}$。

5. 某市出租车的计价标准为$1.2$元/km，起步价为$10$元，即最初的$3$km（含$3$km）计费$10$元. 如果某人乘坐该市的出租车去往$14$km处的目的地，那么需要支付多少车费？

答案： 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元。 所以，可以建立一个等差数列$\{a_n\}$来计算车费。 令$a_1 = 11.2$，表示4 km处的车费，公差$d = 1.2$， 那么当出租车行至14 km处时，$n = 11$， 此时$a_{11} = 11.2 + (11 - 1)\times1.2 = 23.2$。 即需要支付车费23.2元。