《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 已知数列$\{a_{n}\}$是公差为2的等差数列，且$a_{1},a_{2},a_{5}$成等比数列，则$a_{2}$等于 （ ）
A. 3
B. -3
C. 2
D. -2

答案： A

2. (多选)已知$\{a_{n}\}$是各项均为正数的等比数列，其前$n$项和为$S_{n}$，且$\{S_{n}\}$是等差数列，则下列结论正确的是 （ ）
A. $\{a_{n}+S_{n}\}$是等差数列
B. $\{a_{n}\cdot S_{n}\}$是等比数列
C. $\{a_{n}^{2}\}$是等差数列
D. $\{\frac{S_{n}}{n}\}$是等比数列

答案： ACD

3. 有四个实数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，前三个数之积为27，中间两个数之和为9，求这四个数.

答案： 解：(方法一)设前三个数分别为$\frac{a}{q}$，$a$，$aq(a\neq0)$，则第四个数为$2aq - a$。 由题意得$\begin{cases}\frac{a}{q}\cdot a\cdot qa = 27, \\ a + aq = 9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 3, \\ q = 2.\end{cases}$ 所以这四个数分别为$\frac{3}{2}$，3，6，9。 (方法二)设后三个数分别为$a - d$，$a$，$a + d(a\neq0)$，则第一个数为$\frac{(a - d)^{2}}{a}$。 由题意得$\begin{cases}\frac{(a - d)^{2}}{a}\cdot(a - d)\cdot a = 27, \\ a - d + a = 9,\end{cases}$ 化简得$\begin{cases}a - d = 3, \\ 2a - d = 9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 6, \\ d = 3.\end{cases}$ 所以这四个数分别为$\frac{3}{2}$，3，6，9。 (方法三)设前三个数分别为$a$，$aq$，$aq^{2}(a\neq0)$，则第四个数为$2aq^{2}-aq$。 由题意得$\begin{cases}a\cdot aq\cdot aq^{2}=27, \\ aq + aq^{2}=9,\end{cases}$ 化简得$\begin{cases}aq = 3, \\ aq(1 + q)=9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{2}, \\ q = 2.\end{cases}$ 所以这四个数分别为$\frac{3}{2}$，3，6，9。

4. 数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和记为$S_{n}$，$a_{1}=1,a_{n + 1}=2S_{n}+1(n\geqslant1)$.
(1)求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
(2)等差数列$\{b_{n}\}$的各项为正，其前$n$项和为$T_{n}$，且$T_{3}=15$，又$a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}$成等比数列，求$T_{n}$.

答案： 解：
(1)由$a_{n + 1}=2S_{n}+1$， 可得$a_{n}=2S_{n - 1}+1(n\geq2)$。 两式相减，得$a_{n + 1}-a_{n}=2a_{n}$，即$a_{n + 1}=3a_{n}(n\geq2)$。所以$a_{2}=3a_{1}$。 又因为$a_{2}=2S_{1}+1 = 3$， 故$\{a_{n}\}$是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 所以$a_{n}=3^{n - 1}$。
(2)设$\{b_{n}\}$的公差为$d$。 由$T_{3}=15$，得$b_{1}+b_{2}+b_{3}=15$，可得$b_{2}=5$， 故$b_{1}=5 - d$，$b_{3}=5 + d$。 又$a_{1}=1$，$a_{2}=3$，$a_{3}=9$， 由题意可得$(5 - d + 1)(5 + d + 9)=(5 + 3)^{2}$， 解得$d_{1}=2$，$d_{2}=-10$。 因为等差数列$\{b_{n}\}$的各项为正， 所以$d＞0$， 所以$d = 2$，所以$b_{1}=3$。 所以$T_{n}=3n+\frac{n(n - 1)}{2}\times2=n^{2}+2n$。