《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

当$x$变化时，$y = f'(x)$是$x$的函数，我们称它为$y = f(x)$的导函数（简称导数）.$y = f(x)$的导函数有时也记作$y'$，即$f'(x)=y'=\lim\limits_{\Delta x \to 0}$___________.

答案： \[ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

1. 已知函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数为 1，则$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{3\Delta x}=$（ ）
A. 0
B. $\frac{1}{3}$
C. 1
D. 3

答案： B 解析：因为函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的导数为 1， 所以 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{3\Delta x} $ \[ \begin{aligned} &=\frac{1}{3} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\\ &=\frac{1}{3} f'(x_0)\\ &=\frac{1}{3} \end{aligned} \] 故选 B。

2. 曲线$y = 3x^2 - 4x$在点$(1,-1)$处的切线方程为___________.

答案： $ y = 2x - 3 $ 解析：$ k = f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3(1 + \Delta x)^2 - 4(1 + \Delta x) - (3\times1^2 - 4\times1)}{\Delta x} = 2 $。 所以切线方程为 $ y + 1 = 2(x - 1) $，即 $ y = 2x - 3 $。

1. (多选)已知函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. $f(x)$在$a$到$b$之间的平均变化率大于$g(x)$在$a$到$b$之间的平均变化率
B. $f(x)$在$a$到$b$之间的平均变化率等于$g(x)$在$a$到$b$之间的平均变化率
C. 对于任意$x_{0}\in(a,b)$，函数$f(x)$在$x = x_{0}$处的瞬时变化率总大于函数$g(x)$在$x = x_{0}$处的瞬时变化率
D. 存在$x_{0}\in(a,b)$，使得函数$f(x)$在$x = x_{0}$处的瞬时变化率小于函数$g(x)$在$x = x_{0}$处的瞬时变化率

答案： BD@@解析：$f(x)$在$a$到$b$之间的平均变化率是$\frac{f(b)-f(a)}{b - a}$，$g(x)$在$a$到$b$之间的平均变化率是$\frac{g(b)-g(a)}{b - a}$。 又因为$f(b)=g(b)$，$f(a)=g(a)$，所以$\frac{f(b)-f(a)}{b - a}=\frac{g(b)-g(a)}{b - a}$，所以A错误，B正确。 易知函数$f(x)$在$x = x_0$处的瞬时变化率是函数$f(x)$在$x = x_0$处的导数，即函数$f(x)$在$x = x_0$处的切线的斜率。 同理，函数$g(x)$在$x = x_0$处的瞬时变化率是函数$g(x)$在$x = x_0$处的导数，即函数$g(x)$在该点处的切线的斜率。 由题中图象可知，$x_0\in(a,b)$时，函数$f(x)$在$x = x_0$处切线的斜率有可能大于$g(x)$在$x = x_0$处切线的斜率，也有可能小于$g(x)$在$x = x_0$处切线的斜率，故C错误，D正确。