《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 若函数$y = 10^{x}$，则$y'\vert_{x = 1}$等于（ ）
A. $\frac{1}{10}$
B. 10
C. $10\ln 10$
D. $\frac{1}{10\ln 10}$

答案： C 解析：因为$y' = 10^{x}\ln10$，所以$y'\vert_{x = 1}=10\ln10$。

2. 已知质点的运动方程是$s=\sin t$.
(1)求质点在$t=\frac{\pi}{3}$时的速度；
(2)求质点运动的加速度.

答案： 解：
(1)因为$v(t)=s'(t)=\cos t$， 所以$v(\frac{\pi}{3})=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$， 即质点在$t = \frac{\pi}{3}$时的速度为$\frac{1}{2}$。
(2)因为$v(t)=\cos t$， 所以加速度$a(t)=v'(t)=(\cos t)'=-\sin t$。

3. 求函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$在$(1,1)$处的导数.

答案： 解：因为$f'(x)=(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})'=(x^{-\frac{1}{3}})'=-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{4}}}$， 所以$f'(1)=-\frac{1}{3\sqrt[3]{1}}=-\frac{1}{3}$。

4. 求函数$f(x)=\cos x$在$(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2})$处的导数.

答案： 解：因为$f'(x)=-\sin x$， 所以$f'(\frac{\pi}{4})=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

任务三 导数公式的应用
[探究活动]
若函数$y = f(x)$的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称$y = f(x)$具有$T$性质.

探究1：若函数$y = f(x)$具有$T$性质，其图象上对应两点$P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})$处的导数分别为$f'(x_{1}),f'(x_{2})$，则$f'(x_{1})$与$f'(x_{2})$满足什么关系？

探究2：函数$y = e^{x}$具有$T$性质吗？

答案： 由导数的几何意义可知，点$P$，$Q$处切线的斜率分别为$k_{1}=f'(x_{1})$，$k_{2}=f'(x_{2})$，且函数具有$T$性质，则$k_{1}\cdot k_{2}=f'(x_{1})\cdot f'(x_{2})=-1$。
@@因为$f'(x)=e^{x}＞0$，显然$k_{1}\cdot k_{2}=e^{x_{1}}\cdot e^{x_{2}}=-1$无解，故函数$y = e^{x}$不具有$T$性质。