《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

2. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=2$，$na_{n + 1}=(n + 1)a_{n}+n(n + 1)$，$n\in\mathbf{N}^{*}$.
(1)求证：数列$\{\frac{a_{n}}{n}\}$为等差数列，并求出数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
(2)记$b_{n}=\frac{2}{(n + 1)a_{n}}(n\in\mathbf{N}^{*})$，用数学归纳法证明：$b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}\lt1-\frac{1}{(n + 1)^{2}}$，$n\in\mathbf{N}^{*}$.

答案： 证明： - 由$a_{1}=2$，$na_{n + 1}=(n + 1)a_{n}+n(n + 1)$，可得$\frac{a_{n + 1}}{n + 1}=\frac{a_{n}}{n}+1$。 则数列$\{\frac{a_{n}}{n}\}$是首项为2，公差为1的等差数列。 所以$\frac{a_{n}}{n}=2 + n - 1=n + 1$，即$a_{n}=n(n + 1)$。 - 由（1）可得$b_{n}=\frac{2}{(n + 1)a_{n}}=\frac{2}{n(n + 1)^{2}}$。 当$n = 1$时，左边$ = b_{1}=\frac{1}{2}$，右边$ = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}\frac{3}{4}$，等式成立。 假设当$n = k(k\in N^{*})$时，不等式$b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{k}1-\frac{1}{(k + 1)^{2}}$成立。 当$n = k + 1$时，$b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{k}+b_{k + 1}1-\frac{1}{(k + 1)^{2}}+\frac{2}{(k + 1)(k + 2)^{2}}$。 要证$1-\frac{1}{(k + 1)^{2}}+\frac{2}{(k + 1)(k + 2)^{2}}1-\frac{1}{(k + 2)^{2}}$，即证$\frac{2}{(k + 1)(k + 2)^{2}}\frac{1}{(k + 1)^{2}}-\frac{1}{(k + 2)^{2}}$，即证$2(k + 1)2k + 3$，显然成立，即当$n = k + 1$时，不等式也成立。 则$b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}1-\frac{1}{(n + 1)^{2}},n\in N^{*}$成立。

2. 求证：$a^{n + 1}+(a + 1)^{2n - 1}$能被$a^{2}+a + 1$整除.（其中$n\in\mathbf{N}^{*},a\in\mathbf{R}$）

答案： 证明： - 当$n = 1$时，$a^{2}+(a + 1)^{1}=a^{2}+a + 1$，显然能被$a^{2}+a + 1$整除，命题成立。 - 假设当$n = k(k\in N^{*})$时，$a^{k + 1}+(a + 1)^{2k - 1}$能被$a^{2}+a + 1$整除。 当$n = k + 1$时，$a^{k + 2}+(a + 1)^{2k + 1}=a\cdot a^{k + 1}+(a + 1)^{2}(a + 1)^{2k - 1}=a[a^{k + 1}+(a + 1)^{2k - 1}]+(a + 1)^{2}(a + 1)^{2k - 1}-a(a + 1)^{2k - 1}=a[a^{k + 1}+(a + 1)^{2k - 1}]+(a^{2}+a + 1)(a + 1)^{2k - 1}$。 上式能被$a^{2}+a + 1$整除，即当$n = k + 1$时，命题也成立。 由（1）（2）知，对一切$n\in N^{*},a\in R$，命题都成立。

1. 用数学归纳法证明：$(3n + 1)\cdot7^{n}-1(n\in\mathbf{N}^{*})$能被9整除.

答案： 证明： - 当$n = 1$时，$(3 + 1)\times7-1 = 27$能被9整除，所以命题成立。 - 假设当$n = k(k\geqslant1,k\in N^{*})$时命题成立，即$(3k + 1)\cdot7^{k}-1$能被9整除。 那么，当$n = k + 1$时，$[3(k + 1)+1]\cdot7^{k + 1}-1=(3k + 1)\cdot7^{k + 1}+3\cdot7^{k + 1}-1=7\cdot(3k + 1)\cdot7^{k}+3\cdot7^{k + 1}-1=(3k + 1)\cdot7^{k}-1+6\cdot(3k + 1)\cdot7^{k}+3\cdot7^{k + 1}=[(3k + 1)\cdot7^{k}-1]+(18k + 27)\cdot7^{k}$。 由归纳假设$(3k + 1)\cdot7^{k}-1(k\geqslant1,k\in N^{*})$能被9整除及$(18k + 27)\cdot7^{k}$是9的倍数，所以$[(3k + 1)\cdot7^{k}-1]+(18k + 27)\cdot7^{k}$能被9整除，即当$n = k + 1$时，命题成立。 由（1）（2）知命题对任意的$n\in N^{*}$均成立。