《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，且$S_{7}=7$，$S_{15}=75$，求数列$\left\{\dfrac{S_{n}}{n}\right\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解：设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$， 则$S_n=na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d$。 因为$S_7 = 7$，$S_{15}=75$， 所以$\begin{cases}7a_1 + 21d = 7\\15a_1 + 105d = 75\end{cases}$， 即$\begin{cases}a_1 + 3d = 1\\a_1 + 7d = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_1 = - 2\\d = 1\end{cases}$。 所以$\frac{S_n}{n}=a_1+\frac{n - 1}{2}d=-2+\frac{n - 1}{2}=\frac{n}{2}-\frac{5}{2}$。 所以$\frac{S_{n + 1}}{n + 1}-\frac{S_n}{n}=\frac{1}{2}$。 所以数列$\{\frac{S_n}{n}\}$是等差数列，且首项为$-2$，公差为$\frac{1}{2}$。 所以$T_n=\frac{1}{4}n^2-\frac{9}{4}n(n\in N^*)$。

4. 设等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{3}=5$，$a_{10}=-9$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)求数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$及使得$S_{n}$最大时的$n$的值.

答案： 解： - （1）设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$。 由$a_n=a_1+(n - 1)d$及$a_3 = 5$，$a_{10}=-9$， 得$\begin{cases}a_1 + 2d = 5\\a_1 + 9d = - 9\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_1 = 9\\d = - 2\end{cases}$。 所以数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=11 - 2n$，$n\in N^*$。@@解： - （2）由（1）知，$S_n=na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d=10n - n^2$。 因为$S_n=-(n - 5)^2 + 25$， 所以当$n = 5$时，$S_n$取得最大值。