《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=5^{n}-1$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案：  解：当\(n = 1\)时，\(a_{1}=S_{1}=5^{1}-1 = 4\)。 当\(n\geqslant2\)时，\(a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=(5^{n}-1)-(5^{n - 1}-1)=5^{n}-5^{n - 1}=4\times5^{n - 1}\)。 由于\(a_{1}=4\)也适合\(a_{n}=4\times5^{n - 1}\)， 因此，数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式是\(a_{n}=4\times5^{n - 1}\)。

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$3a_{1}+3^{2}a_{2}+3^{3}a_{3}+\cdots +3^{n}a_{n}=n(n\in\mathbf{N}^{*})$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：因为\(3a_{1}+3^{2}a_{2}+3^{3}a_{3}+\cdots+3^{n}a_{n}=n(n\in N^{*})\)①， 所以\(3a_{1}+3^{2}a_{2}+3^{3}a_{3}+\cdots+3^{n - 1}a_{n - 1}=n - 1(n\geqslant2)\)②，由① - ②得\(a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\)。又\(n = 1\)时，得\(a_{1}=\frac{1}{3}\)，满足\(a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\)，所以\(a_{n}=\frac{1}{3^{n}}(n\in N^{*})\)。