《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{5}=11$，$a_{8}=5$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式$a_{n}$及$a_{10}$的值.

答案： 解：（方法一）设an = a1 + (n - 1)d， 则{a5 = a1 + (5 - 1)d，a8 = a1 + (8 - 1)d}， 即{11 = a1 + 4d，5 = a1 + 7d}，解得{a1 = 19，d = - 2}。 所以an = - 2n + 21。 所以a10 = - 2×10 + 21 = 1。 （方法二）设an = An + B， 则{a5 = 5A + B，a8 = 8A + B}，即{11 = 5A + B，5 = 8A + B}，解得{A = - 2，B = 21}。 所以an = - 2n + 21。所以a10 = 1。

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{5}=10$，$a_{12}=31$，求首项$a_{1}$与公差$d$.

答案： 解：设等差数列{an}的公差为d。 因为a5 = 10，a12 = 31， 所以{a1 + 4d = 10，a1 + 11d = 31}，解得{a1 = - 2，d = 3}。 所以等差数列{an}的首项a1 = - 2，公差d = 3。

3. 已知在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{3}+a_{5}=18$，$a_{5}+a_{7}=-6$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：设等差数列{an}的公差为d。 由a1 + a3 + a5 = 3a3 = 18，得a3 = 6； 由a5 + a7 = 2a6 = - 6，得a6 = - 3， 故公差d = (a6 - a3)/(6 - 3) = (- 3 - 6)/3 = - 3。 故数列{an}的通项公式为an = a3 + (n - 3)d = 6 - 3(n - 3) = - 3n + 15。

任务三 等差数列的判定
[探究活动]
孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将其解法传至欧洲. 1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. 这个定理讲的是一个关于整除的问题.
现将2至101这100个整数中能被3除余2且被4除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列.
探究 1：该数列共有多少项？
探究 2：该数列是等差数列吗？
探究 3：如果用图象法表示该数列，这些散点在同一条直线上吗？

答案： 设所求数列为{an}，由题意得3n + 2 = 4k + 1(n，k∈N*)，所以4k - 1 = 3n。所以k = 1，4，7，10，13，16，19，22，25，该数列为5，17，29，41，53，65，77，89，101，共有9项。
@@是等差数列。
@@该数列的通项公式为an = 12n - 7，所以散点都在直线y = 12x - 7上。