《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

2. 函数$y = f(x)$的图象如图所示，则该函数在$x = 1$时的瞬时变化率大约是（ ）


A. 0.1
B. 1.5
C. 4
D. 0.5

答案： D@@解析：函数在$x = 1$时的瞬时变化率为在$x = 1$时的切线的斜率，约为0.5，故选D。

任务二 求曲线的切线方程
[探究活动]
如图，函数$y = f(x)$在$[x_{0},x_{0}+\Delta x]$的平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

探究1：你能说出它的几何意义吗？
探究2：当$\Delta x$变化时，直线如何变化？
探究3：当$\Delta x\rightarrow0$时，直线变化到哪里？
探究4：你能说出函数$y = f(x)$在某点处的导数与该函数图象在该点处的切线的斜率有何关系吗？

答案： 表示过$A(x_0,f(x_0))$和$B(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$两点的直线的斜率。@@直线$AB$绕点$A$转动。@@直线过点$A$与曲线$y = f(x)$相切的位置。

1. 求抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}$过点$(4,\frac{7}{4})$的切线方程.

答案： 解：点$(4,\frac{7}{4})$不在抛物线上，故设切点为$(x_0,\frac{1}{4}x_0^2)$，切线方程的斜率为$k$。 因为$y'\vert_{x = x_0}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{4}(x_0+\Delta x)^2-\frac{1}{4}x_0^2}{\Delta x}=\frac{1}{2}x_0$， 切线方程的斜率$k=\frac{\frac{7}{4}-\frac{1}{4}x_0^2}{4 - x_0}=\frac{1}{2}x_0$， 所以$x_0^2 - 8x_0+7 = 0$，解得$x_0 = 7$或$x_0 = 1$。 故$k=\frac{1}{2}x_0=\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$。 所以所求切线方程为$14x - 4y - 49 = 0$或$2x - 4y - 1 = 0$。