《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题式预习
知识点一 几个常用函数的导数
|函数|用定义法求导数|
| ---- | ---- |
|$y = f(x)=c$|$y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
$=$______
$=$______|
|$y = f(x)=x$|$y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
$=$______ $=$______|
|$y = f(x)=x^{2}$|$y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
$=$______
$=$______|
|$y = f(x)=x^{3}$|$y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
$=$______
$=$______
$=$______|
|函数|用定义法求导数|
| ---- | ---- |
|$y = f(x)=\frac{1}{x}$|$y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
$=$______
$=$______
$=$______|
|$y = f(x)=\sqrt{x}$|$y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
$=$______
$=$______
$=$______|

答案： $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{c - c}{\Delta x}$@@$0$@@$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x}$@@$1$@@$\lim_{\Delta x \to 0}(2x+\Delta x)$@@$2x$@@$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}$@@$\lim_{\Delta x \to 0}[3x^2 + 3x\cdot\Delta x+(\Delta x)^2]$@@$3x^2$@@$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}$@@$\lim_{\Delta x \to 0}\left(-\frac{1}{x^2 + x\cdot\Delta x}\right)$@@$-\frac{1}{x^2}$@@$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}$@@$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$@@$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1)若$f(x)=2$，则$f'(x)=2$. （ ）
(2)若$f(x)=x^{2}$，则$f'(x)=2x^{2}$. （ ）
(3)若$f(x)=x^{-1}$，则$f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$. （ ）

答案： ×@@×@@√