《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题1：常用的等差数列的前$n$项和公式有几个？分别在已知什么条件时应用？

答案： 两个。若已知$a_1$，$a_n$和项数$n$，则使用公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，此公式还可以结合等差数列的“下标和”性质使用；若已知首项$a_1$、公差$d$及项数$n$，则使用公式$S_n=na_1+\frac{n(n - 1)d}{2}$。

问题2：在等差数列中，依次$k$项之和$S_{k}$，$S_{2k}-S_{k}$，$S_{3k}-S_{2k}$，$\cdots$构成的数列是等差数列吗？

答案： 是公差为$k^2d$的等差数列。

问题3：等差数列前$n$项和$S_{n}$的最值有哪些情形？

答案： 等差数列前$n$项和$S_n$最大（小）值的情形： ①若$a_1＞0$，$d0$，则$S_n$存在最大值，即所有非负项之和； ②若$a_10$，$d＞0$，则$S_n$存在最小值，即所有非正项之和。

1. 已知$\{ a_{n}\}$是等差数列.
(1)若$a_{5}+a_{10}=58$，$a_{4}+a_{9}=50$，求$S_{10}$；
(2)若$S_{7}=42$，$S_{n}=510$，$a_{n - 3}=45$，求$n$.

答案： 解： - （方法一）设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$。 由已知条件得$\begin{cases}a_5 + a_{10}=2a_1 + 13d = 58\\a_4 + a_9=2a_1 + 11d = 50\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_1 = 3\\d = 4\end{cases}$。 所以$S_{10}=10a_1+\frac{10\times(10 - 1)}{2}d=10\times3+\frac{10\times9}{2}\times4 = 210$。 - （方法二）设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$。 由已知条件得$\begin{cases}a_5 + a_{10}=(a_1 + a_{10})+4d = 58\\a_4 + a_9=(a_1 + a_{10})+2d = 50\end{cases}$， 所以$d = 4$，$a_1 + a_{10}=42$。 所以$S_{10}=\frac{10(a_1 + a_{10})}{2}=5\times42 = 210$。@@解： - $S_7=\frac{7(a_1 + a_7)}{2}=7a_4 = 42$， 所以$a_4 = 6$。 所以$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=\frac{n(a_4 + a_{n - 3})}{2}=\frac{n(6 + 45)}{2}=510$。 所以$n = 20$。

2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$，$a_{1}=9$，$a_{4}+a_{7}=0$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)当$n$为何值时，数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和取得最大值？

答案： 解： - （1）设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$。 由$a_1 = 9$，$a_4 + a_7 = 0$， 得$a_1 + 3d + a_1 + 6d = 0$，解得$d = - 2$。 所以$a_n=a_1+(n - 1)\cdot d=11 - 2n$。@@解： - （2） - （方法一）由（1）知$a_1 = 9$，$d = - 2$， 所以$S_n=9n+\frac{n(n - 1)}{2}\cdot(-2)=-n^2 + 10n=-(n - 5)^2 + 25$。 所以当$n = 5$时，$S_n$取得最大值。 - （方法二）由（1）知$a_1 = 9$，$d = - 20$， 所以$\{a_n\}$是递减数列。 令$a_n\geq0$，则$11 - 2n\geq0$，解得$n\leq\frac{11}{2}$。 因为$n\in N^*$，所以$n\leq5$时，$a_n＞0$，$n\geq6$时，$a_n0$。 所以当$n = 5$时，$S_n$取得最大值。