《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 已知抛物线$f(x)=x^2 + 1$，则抛物线在点$(2,5)$处切线的斜率为 （ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2

答案： B 解析：$k = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x}=4$。

2. 抛物线$f(x)=2x^2 - 1$在点$(1,1)$处的切线方程为________。

答案： $y = 4x - 3$ 解析：抛物线 $f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的斜率为 $\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{f(1 + \Delta t) - f(1)}{\Delta t}=4$，所以切线方程为 $y = 4x - 3$。

1. 一质点直线运动的方程为$s = t^{2}+1$，则在时间$[1,2]$内的平均速度为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C 解析：由题设可知平均速度$\overline{v}=\frac{2^{2}+1-(1^{2}+1)}{2 - 1}=\frac{5 - 2}{2 - 1}=3$。故选C。

2. 物体甲、乙在时间0到$t_{1}$范围内位移的变化情况如图所示，下列说法正确的是________.

①在0到$t_{0}$范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到$t_{0}$范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在$t_{0}$到$t_{1}$范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在$t_{0}$到$t_{1}$范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度.

答案： ③ 解析：在0到$t_{0}$范围内，甲、乙的平均速度都为$\overline{v}=\frac{s_{0}}{t_{0}}$，故①②错误。 在$t_{0}$到$t_{1}$范围内，甲的平均速度为$\frac{s_{2}-s_{0}}{t_{1}-t_{0}}$，乙的平均速度为$\frac{s_{1}-s_{0}}{t_{1}-t_{0}}$。 因为$s_{2}-s_{0}＞s_{1}-s_{0}$，$t_{1}-t_{0}＞0$，所以$\frac{s_{2}-s_{0}}{t_{1}-t_{0}}＞\frac{s_{1}-s_{0}}{t_{1}-t_{0}}$，故③正确，④错误。

任务二 求瞬时速度
[探究活动]
物体的路程$s$与时间$t$的关系是$s(t)=5t^{2}$.
探究1：该物体在$[1,1 + \Delta t]$这段时间内的平均速度是多少？
探究2：当$\Delta t$趋近于0时，该物体的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？

答案： $\Delta s = 5(1+\Delta t)^{2}-5 = 10\Delta t + 5(\Delta t)^{2}$，$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=10 + 5\Delta t$。@@当$\Delta t$趋近于0时，$\frac{\Delta s}{\Delta t}$趋近于10，这时的平均速度即为当$t = 1$时的瞬时速度。