《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

任务二 求复合函数的导数
[探究活动]
已知函数$y=(3x + 2)^2$.
探究1：函数$y=(3x + 2)^2$是复合函数吗？它是由哪些函数复合成的？
探究2：在上一节课中，我们怎样求函数$y=(3x + 2)^2$的导数？
探究3：令$u = 3x + 2$，你能分别求出$f(u)=u^2$，$g(x)=3x + 2$的导数吗？$f'(u)$ $g'(x)$等于多少？
探究4：观察上面探究2、探究3中导数有何关系？
[评价活动]

答案： 是，是由一次函数$u = 3x + 2$和二次函数$y = u^{2}$复合而成的，即$y = f(u)=(3x + 2)^{2}$@@先变形，得$y=(3x + 2)^{2}=9x^{2}+12x + 4$，所以$y'=(9x^{2}+12x + 4)'=18x + 12$@@$f'(u)=2u = 6x + 4$，$g'(x)=3$；$f'(u)g'(x)=18x + 12$@@$y'=[f(g(x))]'=f'(u)\cdot g'(x)$

1.（多选）以下函数求导正确的是 （ ）
A. 若$f(x)=\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$，则$f'(x)=\frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$
B. 若$f(x)=e^{2x}$，则$f'(x)=e^{2x}$
C. 若$f(x)=\sqrt{2x - 1}$，则$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$
D. 若$f(x)=\cos(2x - \frac{\pi}{3})$，则$f'(x)=-\sin(2x - \frac{\pi}{3})$

答案： AC

2. 求下列函数的导数.
(1)$y=(2x^3 - x + \frac{1}{x})^4$；
(2)$y=\frac{1}{\sqrt{1 - 2x^2}}$；
(3)$y=\sin^2(2x + \frac{\pi}{3})$；
(4)$y=x\sqrt{1 + x^2}$.

答案： $y'=[(2x^{3}-x+\frac{1}{x})^{4}]'=4(2x^{3}-x+\frac{1}{x})^{3}(2x^{3}-x+\frac{1}{x})'=4(2x^{3}-x+\frac{1}{x})^{3}(6x^{2}-1-\frac{1}{x^{2}})$@@$y'=(\frac{1}{\sqrt{1 - 2x^{2}}})'=[(1 - 2x^{2})^{-\frac{1}{2}}]'=-\frac{1}{2}(1 - 2x^{2})^{-\frac{3}{2}}\cdot(1 - 2x^{2})'=2x(1 - 2x^{2})^{-\frac{3}{2}}=\frac{2x}{(1 - 2x^{2})\sqrt{1 - 2x^{2}}}$@@$y'=[\sin^{2}(2x+\frac{\pi}{3})]'=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\cdot[\sin(2x+\frac{\pi}{3})]'=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\cdot[\cos(2x+\frac{\pi}{3})]\cdot(2x+\frac{\pi}{3})'=2\sin(4x+\frac{2\pi}{3})$@@$y'=(x\sqrt{1 + x^{2}})'=x'\sqrt{1 + x^{2}}+x(\sqrt{1 + x^{2}})'=\sqrt{1 + x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}=\frac{(1 + 2x^{2})\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$