《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

### 问题式预习
知识点一 等比数列、等比中项的概念
| | 内容 |
|--|--|
| 等比数列 | 一般地，如果一个数列从______起，每一项与它的______的比都等于______，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母______表示（显然$q \neq 0$） |
| 等比中项 | 如果在$a$与$b$中间插入一个数$G$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项. 此时，$G^{2}=$______ |

答案： 第 2 项@@前一项@@同一个常数@@公比 $q$

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）。
(1)等比数列中不存在数值为 0 的项. （ ）
(2)常数列$a$，$a$，$a$，$a$，$\cdots$一定是等比数列. （ ）
(3)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列. （ ）
(4)任何两个实数都有等比中项. （ ）

答案： √
@@×
@@√
@@×

知识点二 等比数列的通项公式
(1)首项为$a_{1}$，公比为$q$的等比数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=$______.
(2)第$n$项与第$m$项的关系为$a_{n}=$______，变形得$q^{n - m}=$______.
(3)由$a_{n}=\frac{a_{1}}{q} \cdot q^{n}$可知，当$q ＞ 0$且$q \neq 1$时，等比数列$\{a_{n}\}$的第$n$项$a_{n}$是函数$f(x)=\frac{a_{1}}{q} \cdot q^{x}(x \in \mathbf{R})$当$x = n$时的函数值，即$a_{n}=f(n)$.

答案： $a_{1}q^{n - 1}$
@@$a_{m}q^{n - m}$
@@$\frac{a_{n}}{a_{m}}$

1. 已知等比数列$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}=\frac{9}{8}$，公比$q = \frac{2}{3}$，$a_{n}=\frac{1}{3}$，则项数$n$为 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： B

2. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，已知$a_{5}+a_{1}=34$，$a_{5}-a_{1}=30$，则$a_{3}=$ （ ）
A. 8
B. -8
C. $\pm 8$
D. 16

答案： A

1. 从集合$\{1,2,3,\cdots,10\}$中任意选出三个不同的数，使得这三个数依次成等比数列，则这样的等比数列的个数是 （ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16

答案： A