《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题式预习
知识点 平均变化率与瞬时变化率
对于函数$y = f(x)$，设自变量$x$从$x_0$变化到$x_0+\Delta x$，相应地，函数值$y$就从$f(x_0)$变化到$f(x_0+\Delta x)$. 这时，$x$的变化量为$\Delta x$，$y$的变化量为$\Delta y =$___________. 我们把比值$\frac{\Delta y}{\Delta x}$，即$\frac{\Delta y}{\Delta x} =$___________叫做函数$y = f(x)$从$x_0$到$x_0+\Delta x$的平均变化率.
如果当$\Delta x \to 0$时，平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$无限趋近于一个确定的值，即$\frac{\Delta y}{\Delta x}$有极限，则称$y = f(x)$在$x = x_0$处________，并把这个确定的值叫做$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数（也称为瞬时变化率），记作________或________，即$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =$___________.
[微训练]

答案： \[ f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]@@\[ \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]@@可导@@\[ f'(x_0) \]@@\[ y'\big|_{x = x_0} \]@@\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

1. 函数$y = f(x)$的图象如图所示.
（1）函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上的平均变化率为________；
（2）函数$f(x)$在区间$[0,2]$上的平均变化率为________.

答案： $\frac{1}{2}$@@$\frac{3}{4}$

2. 一个物体运动满足曲线方程$s = 4t^2 + 2t - 3$，且$s'(5) = 42\ m/s$，其实际意义是：物体在$t = 5\ s$时的瞬时速度是________.

答案： $42$ m/s