《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

2. 通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值. 如果1 km高度的气温是8.5 $^{\circ}C$，5 km高度的气温是$-17.5$ $^{\circ}C$，求2 km，4 km，8 km高度的气温.

答案： 解：设$\{a_{n}\}$表示自下而上各高度的气温组成的等差数列，公差为$d$，则$a_{1}=8.5$，$a_{5}=-17.5$。由$a_{5}=a_{1}+4d=8.5+4d=-17.5$，解得$d=-6.5$。所以$a_{n}=15-6.5n(1\leq n\leq10,n\in N^{*})$。所以$a_{2}=2$，$a_{4}=-11$，$a_{8}=-37$，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为$2^{\circ}C$，$-11^{\circ}C$，$-37^{\circ}C$。

3. 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.

答案： 解：用数列$\{a_{n}\}$表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。由已知，得$a_{1}=33$，$a_{12}=110$，$n = 12$。由通项公式，得$a_{12}=a_{1}+(12 - 1)d$，即$110=33+11d$，解得$d = 7$。因此，$a_{2}=33+7=40$，$a_{3}=40+7=47$，$a_{4}=54$，$a_{5}=61$，$a_{6}=68$，$a_{7}=75$，$a_{8}=82$，$a_{9}=89$，$a_{10}=96$，$a_{11}=103$。所以，梯子中间各级的宽度从上而下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm。

任务三 等差数列的综合问题
[探究活动]
“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”. “天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……癸亥，60年为一个纪年周期，周而复始，循环记录. 按照“干支纪年法”，公元2022年是壬寅年.
探究1：按照“干支纪年法”，公元2023年是什么年？
探究2：按照“干支纪年法”，公元2049年是什么年？

答案： 探究1：公元2023年是癸卯年。 探究2：天干可看作由10个元素构成的等差数列，以壬为首项，即壬、癸、甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛；地支是12个元素构成的等差数列，以寅为首项，即寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥、子、丑；从2022年到2049年经过27年，且2022年为壬寅年，则$27\div10=2$余7，则2049年的天干为己，$27\div12=2$余3，则2049年的地支为巳，即公元2049年是己巳年。