《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

2. 已知函数 $f(x)=2ax-\frac{1}{x^{2}}$，$x\in(0,1]$，若 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

答案： 解：由已知得$f'(x)=2a+\frac{2}{x^3}$， 因为$f(x)$在$(0,1]$上单调递增， 所以$f'(x)\geq0$，即$a\geq-\frac{1}{x^3}$在$x\in(0,1]$上恒成立。 令$g(x)=-\frac{1}{x^3}$，而$g(x)=-\frac{1}{x^3}$在$(0,1]$上单调递增， 所以$g(x)_{\max}=g(1)= - 1$，所以$a\geq - 1$。 当$a = - 1$时，$f'(x)=-2+\frac{2}{x^3}$。 对$x\in(0,1]$也有$f'(x)\geq0$。所以$a = - 1$时，$f(x)$在$(0,1]$上单调递增。 所以$f(x)$在$(0,1]$上单调递增时，实数$a$的取值范围是$[-1,+\infty)$。