《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题式预习
知识点 函数的单调性与导数
定义在区间$(a,b)$内的函数$y = f(x)$：
|$f^{\prime}(x)$的正负|$f(x)$的单调性|
|----|----|
|$f^{\prime}(x)＞0$|单调递____|
|$f^{\prime}(x)0$|单调递____|
[微训练]

答案： 增@@减

1. 判断（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）对于函数$y = f(x)$，在区间$I$上，若$f^{\prime}(x)0$，则$f(x)$在$I$上单调递减. （ ）
（2）对于函数$y = f(x)$，在区间$I$上，若$f(x)$是单调递增的，则$f^{\prime}(x)＞0$. （ ）

答案： √@@× 提示：$f^{\prime}(x)=0$也有可能，如$y = x^{3}$。

2. 函数$y = f(x)$的图象如图所示，则在区间$(1,3)$内，有（ ）

A. $f^{\prime}(x)＞0$
B. $f^{\prime}(x)0$
C. $f^{\prime}(x)=0$
D. $f^{\prime}(x)$的符号不确定

答案： B 解析：在区间$(1,3)$内，函数$y = f(x)$的图象是下降的，函数单调递减，所以$f^{\prime}(x)0$。

任务型课堂
任务一 由图象理解导数的正负与函数的单调性
[探究活动]
已知下列 $A$，$B$ 两组函数：
$A$：(1)$y = 2x - 1$，(2)$y = 2^{x}$，(3)$y = x^{3}$；
$B$：(1)$y = - 3x$，(2)$y = (\frac{1}{3})^{x}$，(3)$y = \frac{1}{x}$ ($x＞0$).
探究 1：$A$，$B$ 两组函数分别是增函数还是减函数？
探究 2：计算两组函数的导数，你能判断导数的正负吗？
探究 3：结合探究 1、探究 2 的结论，你有何猜想？
[评价活动]

答案： A组中的函数都是增函数，B组中的函数都是减函数。@@A组：
(1)$y' = 2＞0$，
(2)$y' = 2^x\ln 2＞0$，
(3)$y' = 3x^2\geq0$。 B组：
(1)$y' = -30$，
(2)$y' = (\frac{1}{3})^x\ln\frac{1}{3}0$，
(3)$y' = -\frac{1}{x^2}0$。@@导数的正负决定函数的单调性。