《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 用数学归纳法证明$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}\lt n(n\in\mathbf{N}^{*},n\gt1)$时，第一步应验证不等式 （ ）
A. $1+\frac{1}{2}\lt2$
B. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\lt3$
C. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\lt2$
D. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\lt3$

答案： C

2. 用数学归纳法证明$f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}(n\in\mathbf{N}^{*})$的过程中，从$n = k$到$n = k + 1$时，$f(k + 1)$比$f(k)$共增加了 （ ）
A. 1项
B. $2^{k - 1}$项
C. $2^{k + 1}$项
D. $2^{k}$项

答案： D

1. 用数学归纳法证明：$1 + 3×2 + 5×2^{2}+\cdots+(2n - 1)×2^{n - 1}=2^{n}(2n - 3)+3(n\in\mathbf{N}^{*})$.

答案： 证明： - 当$n = 1$时，左边$ = 1$，右边$ = 2\times(2 - 3)+3 = 1$，左边$=$右边，等式成立。 - 假设当$n = k(k\in N^{*})$时，等式成立，即$1 + 3\times2 + 5\times2^{2}+\cdots+(2k - 1)\times2^{k - 1}=2^{k}(2k - 3)+3$。 则当$n = k + 1$时，$1 + 3\times2 + 5\times2^{2}+\cdots+(2k - 1)\times2^{k - 1}+(2k + 1)\times2^{k}=2^{k}(2k - 3)+3+(2k + 1)\times2^{k}=2^{k}(4k - 2)+3=2^{k + 1}[2(k + 1)-3]+3$。 即当$n = k + 1$时，等式也成立。 由上述（1）（2）知，等式对任何$n\in N^{*}$都成立。

2.$(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})\cdots(1-\frac{1}{n + 2})=\frac{2}{n + 2})$。

答案：  2. **证明**： - 当(n = 1)时，左边$( = 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3})$，右边$(=\frac{2}{1 + 2}=\frac{2}{3})$，等式成立。 - 假设当$(n = k(k\in N^{*})$时，等式成立，即$(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})\cdots(1-\frac{1}{k + 2})=\frac{2}{k + 2})$。 则当(n = k + 1)时，$(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})\cdots(1-\frac{1}{k + 2})(1-\frac{1}{k + 3})=\frac{2}{k + 2}(1-\frac{1}{k + 3})=\frac{2(k + 2)}{(k + 2)(k + 3)}=\frac{2}{k + 3}=\frac{2}{(k + 1)+2})$。 即当$(n = k + 1)$时，等式也成立。 由（1）（2）可知，对任何$(n\in N^{*})$，等式都成立。

3.$1^3=1^2$
$1^3+2^3=(1+2)^2$
$1^3+2^3+3^3=(1+2+3+4)^2$
$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2$,
······
(1)请用含n(nN°)的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明；
(2)设数列(a。)的前n 项和为S.，且$a_n=n³+n$，求$S_{10}$.

答案：  3. **解**： - 猜想\(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=(1 + 2 + 3+\cdots+n)^{2}\)。 证明：当\(n = 1\)时，左边\( = 1\)，右边\( = 1\)，等式成立。 假设当\(n = k(k\in N^{*})\)时，\(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+k^{3}=(1 + 2 + 3+\cdots+k)^{2}\)成立。 当\(n = k + 1\)时，\(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+k^{3}+(k + 1)^{3}=(1 + 2 + 3+\cdots+k)^{2}+(k + 1)^{3}=[\frac{k(k + 1)}{2}]^{2}+(k + 1)^{3}=(k + 1)^{2}\cdot\frac{k^{2}+4k + 4}{4}=[\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}]^{2}=[1 + 2+\cdots+(k + 1)]^{2}\)。 可得当\(n = k + 1\)时，猜想也成立。 综上可得，对任意的正整数\(n\)，\(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=(1 + 2 + 3+\cdots+n)^{2}\)。 - 数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(a_{n}=n^{3}+n\)，\(S_{10}=(1^{3}+2^{3}+\cdots+10^{3})+(1 + 2 + 3+\cdots+10)=(1 + 2+\cdots+10)^{2}+\frac{10\times11}{2}=55^{2}+55 = 3080\)。

探究1：照此规律，你能写出第$n(n\in\mathbf{N}^{*})$个不等式吗？
探究2：用数学归纳法证明上述不等式时，假设当$n = k(k\in\mathbf{N}^{*}$且$k\geqslant1)$时，不等式$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{(k + 1)^{2}}\lt\frac{2(k + 1)-1}{k + 1}$成立，则当$n = k + 1$时，我们需要证明的不等式是怎样的？
探究3：除了数学归纳法，上述不等式还可以怎样证明？

答案： 第$n$个不等式为$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n + 1)^{2}}\frac{2(n + 1)-1}{n + 1}$。
@@$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{(k + 1)^{2}}+\frac{1}{(k + 2)^{2}}\frac{2(k + 1+1)-1}{(k + 1)+1}$。
@@用放缩法证明。因为$n^{2}＞n(n - 1)$，所以$\frac{1}{n^{2}}\frac{1}{n(n - 1)}(n\in N^{*}且n ＞ 1)$。 所以$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n + 1)^{2}}1+\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}=2-\frac{1}{n + 1}=\frac{2(n + 1)-1}{n + 1}$。

1. 用数学归纳法证明：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}\gt\frac{n}{2}(n\in\mathbf{N}^{*})$.

答案： 证明： - 当$n = 1$时，左边$ = 1$，右边$=\frac{1}{2}$，不等式成立。 - 假设当$n = k(k\in N^{*})$时，不等式成立，即$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{k}-1}＞\frac{k}{2}$。 当$n = k + 1$时，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{k}-1}+\frac{1}{2^{k - 1}+1}+\frac{1}{2^{k - 1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k}}＞\frac{k}{2}+\frac{1}{2^{k - 1}+1}+\frac{1}{2^{k - 1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k}}＞\frac{k}{2}+\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k}}+\cdots+\frac{1}{2^{k}}=\frac{k}{2}+\frac{(2^{k}-2^{k - 1})}{2^{k}}=\frac{k + 1}{2}$。 所以当$n = k + 1$时，不等式成立。 由（1）（2）可知，不等式对任何$n\in N^{*}$都成立。