《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

一般地，对于两个函数$y = f(u)$和$u = g(x)$，如果通过中间变量$u$，$y$可以表示成$x$的函数，那么称这个函数为函数$y = f(u)$和$u = g(x)$的复合函数，记作_______.

答案： $y = f(g(x))$

判断（正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)函数$y = \sin^{2}x$是由$y = u^{2}$与$u = \sin x$复合而成的. （ ）
(2)函数$y = 2^{\ln x}$中，中间变量为$u = \ln x$. （ ）
(3)若函数$y = \ln(2x)$，则$y' = \frac{1}{2x}$. （ ）
(4)$y = x\cos x$是复合函数. （ ）

答案： √
@@√
@@× 提示：$y'=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}$．
@@× 提示：$y = x\cos x$是两个函数的积．

一般地，对于由函数$y = f(u)$和$u = g(x)$复合而成的函数$y = f(g(x))$，它的导数与函数$y = f(u)$，$u = g(x)$的导数间的关系为_______，即$y$对$x$的导数等于$y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数的_______.

答案： $y'_x=y'_u\cdot u'_x$@@乘积

1. 设$y = f(\sin x)$是可导函数，则$y_{x}'$等于 （ ）
A. $f'(\sin x)$
B. $f'(\sin x) \cdot \cos x$
C. $f'(\sin x) \cdot \sin x$
D. $f'(\cos x) \cdot \cos x$

答案： B 解析：$y'_x = f'(\sin x)\cdot(\sin x)' = f'(\sin x)\cdot\cos x$．

2.（多选）下列式子正确的是 （ ）
A. $(\cos\frac{\pi}{6})' = -\sin\frac{\pi}{6}$
B. $(e^{2x})' = 2e^{2x}$
C. $(\sin 3x)' = 3\cos x$
D. $[\ln(-x + 1)]' = \frac{1}{x - 1}$

答案： BD 解析：$(\cos\frac{\pi}{6})' = 0$，$(e^{2x})' = 2e^{2x}$，$(\sin 3x)' = 3\cos 3x$，$[\ln(-x + 1)]'=\frac{-1}{-x + 1}=\frac{1}{x - 1}$．所以 BD 正确．

1. 函数$y=(1 - \sqrt{x})(1+\frac{1}{\sqrt{x}})$的导数为 ____________.

答案： $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

2. 函数$y=\frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x}$的导数为 _________.

答案： $y' = \sin x - \cos x$

3. $y=\frac{1}{1 - \sqrt{x}}+\frac{1}{1 + \sqrt{x}}$的导数为 _________.

答案： $y' = \frac{2}{(1 - x)^{2}}$