《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

3. 已知函数$f(x)=ax^{2}+\ln x$的导数为$f'(x)$.
(1) 求$f(1)+f'(1)$；
(2) 若曲线$y = f(x)$存在垂直于$y$轴的切线，求实数$a$的取值范围.

答案： 解：
(1)由题意，函数的定义域为$(0,+\infty)$，由$f(x)=ax^{2}+\ln x$，得$f'(x)=2ax+\frac{1}{x}$，所以$f(1)+f'(1)=3a + 1$。@@
(2)因为曲线$y = f(x)$存在垂直于$y$轴的切线，故此时切线的斜率为$0$，问题转化为在$x\in(0,+\infty)$内导函数$f'(x)=2ax+\frac{1}{x}$存在零点。令$f'(x)=0$，即$2ax+\frac{1}{x}=0$有正实数解，即$2ax^{2}=-1$有正实数解，故有$a\lt0$。所以实数$a$的取值范围是$(-\infty,0)$。