《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 函数$f(x)=8x - 6$在$[m,n]$上的平均变化率为_______.

答案： 8 解析：$\frac{f(n)-f(m)}{n - m}=\frac{(8n - 6)-(8m - 6)}{n - m}=8$。

2. 函数$y = f(x)$的图象如图所示，则函数$f(x)$在区间$[-1,3]$上的平均变化率为_______.

答案： $\frac{3}{4}$ 解析：由题中函数$f(x)$的图象，知函数$f(x)$在区间$[-1,3]$上的平均变化率为$\frac{f(3)-f(-1)}{3 - (-1)}=\frac{4 - 1}{3 - (-1)}=\frac{3}{4}$。

3. 已知函数$y = \sin x$在区间$[0,\frac{\pi}{6}]$，$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$上的平均变化率分别为$k_1,k_2$，那么$k_1,k_2$的大小关系为_______.

答案： $k_1＞k_2$ 解析：当$x\in[0,\frac{\pi}{6}]$时，平均变化率$k_1=\frac{\sin\frac{\pi}{6}-\sin0}{\frac{\pi}{6}}=\frac{3}{\pi}$；当$x\in[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$时，平均变化率$k_2=\frac{\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}}=\frac{3(2 - \sqrt{3})}{\pi}$。所以$k_1＞k_2$。

一质点按规律$s = 2t^2 + 2t$做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).
探究1：质点在前$3\ s$内的平均速度是多少？在$3\ s$时的瞬时速度是多少？

探究2:对于函数y=f(x),当x从x。变

到r。十Ar时，y关于的平均变化率是多少？

探究3:当△r趋于0时，探究2中的平均变化率趋于一个常数吗？

答案： 探究1：$8\ m/s$，$14\ m/s$。 探究2：$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。 探究3：当$\Delta x$趋于0时，平均变化率趋于一个常数。

1. 求函数$y = f(x)=x^2 + x + 1$在$x = 1$处的导数.

答案： 解：因为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{(1+\Delta x)^2+(1+\Delta x)+1-(1^2 + 1 + 1)}{\Delta x}=3+\Delta x$，所以$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(3+\Delta x)=3$，即函数$y = f(x)=x^2 + x + 1$在$x = 1$处的导数为3。