《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 已知函数$f(x)$在$x = x_0$处的导数为$12$，则$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 - \Delta x)-f(x_0)}{3\Delta x}=$（ ）
A. $-4$
B. $4$
C. $-36$
D. $36$

答案： A 解析：由函数$f(x)$在$x = x_0$处的导数为12，得$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{3\Delta x}=-\frac{1}{3}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0)-f(x_0-\Delta x)}{\Delta x}=-\frac{12}{3}=-4$。故选A。

2. 已知函数$f(x)$可导，则$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 - \Delta x)-f(1)}{-\Delta x}$等于（ ）
A. $f'(1)$
B. 不存在
C. $\frac{1}{3}f'(1)$
D. 以上都不对

答案： A 解析：因为$\Delta x\rightarrow0$，所以$(-\Delta x)\rightarrow0$，所以$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(1-\Delta x)-f(1)}{-\Delta x}=f^\prime(1)$。故选A。

3. 若函数$y = f(x)$在$x = 2$处的瞬时变化率为$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$，且$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2 + \Delta x)-f(2)}{\Delta x}=4+\Delta x$，则$f'(2)=$（ ）
A. $2$
B. $4$
C. $2+\Delta x$
D. $4+\Delta x$

答案： B 解析：由导数的定义，知$f^\prime(2)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(4+\Delta x)=4$。故选B。