《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

问题 1：等比数列的通项公式是怎样的？

答案： 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q$（$q\neq0$），则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$。

问题 2：在等比数列的基本量运算中，解方程组时常用的方法是什么？

答案： 两式求公比。

问题 3：等比数列的“下标和”性质是怎样的？

答案： 若$m + n = p + q$（$m,n,p,q\in\mathbf{N}^{*}$），则$a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}$。若$m + n = 2k$（$m,n,k\in\mathbf{N}^{*}$），则$a_{k}^{2}=a_{m}\cdot a_{n}$。

1. 若$\{a_{n}\}$为公比大于 1 的等比数列，$a_{3}=2$，$a_{2}+a_{4}=\frac{20}{3}$，则数列$\{a_{n}\}$的通项公式为________.

答案： $a_{n}=2\times3^{n - 3}$（$n\in\mathbf{N}^{*}$） 解析：设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，则$q\gt1$，$a_{2}=\frac{a_{3}}{q}=\frac{2}{q}$，$a_{4}=a_{3}q = 2q$，所以$\frac{2}{q}+2q=\frac{20}{3}$，解得$q=\frac{1}{3}$（舍）或$3$。由$q = 3$知，$a_{1}=\frac{2}{9}$，所以$a_{n}=\frac{2}{9}\times3^{n - 1}=2\times3^{n - 3}$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）。

2. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，已知$a_{4}+a_{7}=2$，$a_{5}a_{6}=-8$，求$a_{1}+a_{10}$.

答案： 解：因为$\{ a_{n}\}$是等比数列，所以$a_{5}a_{6}=a_{4}a_{7}=-8$。又$a_{4}+a_{7}=2$，解得$a_{4}=4$，$a_{7}=-2$或$a_{4}=-2$，$a_{7}=4$。当$a_{4}=4$，$a_{7}=-2$时，$q^{3}=-\frac{1}{2}$，$a_{1}+a_{10}=\frac{a_{4}}{q^{3}}+a_{7}q^{3}=-7$。当$a_{4}=-2$，$a_{7}=4$时，$q^{3}=-2$，$a_{1}+a_{10}=\frac{a_{4}}{q^{3}}+a_{7}q^{3}=-7$。故$a_{1}+a_{10}=-7$。

3. 已知数列$\{a_{n}\}$为等比数列.
(1)若$a_{2}=18$，$a_{4}=8$，求$a_{n}$；
(2)若$a_{n}＞0$，且$a_{2}a_{4}+2a_{3}a_{5}+a_{4}a_{6}=36$，求$a_{3}+a_{5}$；
(3)若数列$\{a_{n}\}$的前三项和为 168，$a_{2}-a_{5}=42$，求$a_{5}$，$a_{7}$的等比中项.

答案： 解：
(1)设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，则由已知得$\begin{cases}a_{1}q = 18\\a_{1}q^{3}=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=27\\q=\frac{2}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}a_{1}=-27\\q=-\frac{2}{3}\end{cases}$。所以$a_{n}=27\times(\frac{2}{3})^{n - 1}$或$a_{n}=-27\times(-\frac{2}{3})^{n - 1}$。
(2)因为$a_{2}a_{4}+2a_{3}a_{5}+a_{4}a_{6}=36$，所以$a_{3}^{2}+2a_{3}a_{5}+a_{5}^{2}=36$，即$(a_{3}+a_{5})^{2}=36$。又因为$a_{n}\gt0$，所以$a_{3}+a_{5}=6$。
(3)设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$。因为$a_{2}-a_{5}=42$，所以$q\neq1$。由已知，得$\begin{cases}a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}=168\\a_{1}q - a_{1}q^{4}=42\end{cases}$，所以$\begin{cases}a_{1}(1 + q + q^{2})=168\\a_{1}q(1 - q^{3})=42\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=96\\q=\frac{1}{2}\end{cases}$。若$G$是$a_{5},a_{7}$的等比中项，则有$G^{2}=a_{5}\cdot a_{7}=a_{1}q^{4}\cdot a_{1}q^{6}=a_{1}^{2}q^{10}=96^{2}\times(\frac{1}{2})^{10}=9$，所以$a_{5},a_{7}$的等比中项为$\pm3$。