《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 曲线$y = x^{3}$在点$(1,1)$处的切线与$x$轴、$x = 2$所围成的三角形的面积为_______.

答案： $\frac{8}{3}$ 解析：因为$k = y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(1+\Delta x)^3-1^3}{\Delta x}=3$， 所以在点$(1,1)$处的切线方程为$y - 1 = 3(x - 1)$， 即$y = 3x - 2$。它与$x$轴的交点为$(\frac{2}{3},0)$，与$x = 2$的交点为$(2,4)$， 所以$S=\frac{1}{2}\times(2-\frac{2}{3})\times4=\frac{8}{3}$。

2. 已知曲线$y = x^{2}$在某点$P$处的切线满足下列条件，请分别求出点$P$的坐标.
(1)平行于直线$y = 6x - 5$；
(2)垂直于直线$x - 3y + 5 = 0$；
(3)倾斜角为$135^{\circ}$.

答案： 解：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=2x$，设$P(x_0,y_0)$是满足条件的点。
(1)因为切线与直线$y = 6x - 5$平行， 所以$2x_0 = 6$，得$x_0 = 3$，$y_0 = 9$，即$P(3,9)$是满足条件的点。
(2)因为切线与直线$x - 3y + 5 = 0$垂直， 所以$2x_0\times\frac{1}{3}=-1$，得$x_0=-\frac{3}{2}$，$y_0=\frac{9}{4}$， 即$P(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$是满足条件的点。
(3)因为切线与$x$轴正方向成$135^{\circ}$的倾斜角， 所以其斜率为$-1$，即$2x_0=-1$，得$x_0=-\frac{1}{2}$，$y_0=\frac{1}{4}$，即$P(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$是满足条件的点。