《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

2. 下列数列中，可以用错位相减法求和的是（ ）
A. $\{n^2\}$
B. $\{n + 3^n\}$
C. $\{-n\cdot(\frac{1}{2})^n\}$
D. $\{\frac{2^n}{n}\}$

答案： C 解析：错位相减法求和适用于求一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积的前 $n$ 项和，故选 C.

3. 数列$\{n\times2^{n - 1}\}$的前$n$项和为（ ）
A. $-3+(n + 1)\times2^n$
B. $3+(n + 1)\times2^n$
C. $1+(n + 1)\times2^n$
D. $1+(n - 1)\times2^n$

答案： D 解析：设数列 $\{n×2^{n - 1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$， 则 $T_{n} = 1×2^{0} + 2×2^{1} + 3×2^{2} + \cdots + n×2^{n - 1}$， $2T_{n} = 1×2^{1} + 2×2^{2} + 3×2^{3} + \cdots + n×2^{n}$. 两式作差得 $-T_{n} = 1 + 2 + 2^{2} + \cdots + 2^{n - 1} - n×2^{n} = \frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} - n×2^{n} = - 1 + (1 - n)×2^{n}$， 故 $T_{n} = 1 + (n - 1)×2^{n}$.

1. 在公比q为整数的等比数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n}$是数列$\{ a_{n}\}$的前n项和，若$a_{1}+a_{4}=18,a_{2}+a_{3}=12$，则下列说法正确的是 （ ）
A. $q = 2$
B. 数列$\{ S_{n}+2\}$是等比数列
C. $S_{8}=510$
D. 数列$\{ \lg a_{n}\}$是公差为2的等差数列

答案： ABC 解析：因为$a_{1}+a_{4}=18$，$a_{2}+a_{3}=12$， 所以$a_{1}(1 + q^{3}) = 18$，$a_{1}(q + q^{2}) = 12$。 又公比$q$为整数，解得$a_{1}=q = 2$。 所以$a_{n}=2^{n}$，$S_{n}=\frac{2(1 - 2^{n})}{1 - 2}=2^{n + 1}-2$。 所以$S_{8}=2^{9}-2 = 510$，$S_{n}+2 = 2^{n + 1}$，则数列$\{S_{n}+2\}$是公比为$2$的等比数列。 因为$\lg a_{n}=n\lg 2$，所以数列$\{\lg a_{n}\}$是公差为$\lg 2$的等差数列。综上，可得ABC正确。故选ABC。

2. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，其前n项和为$S_{n}$，若$q = -\frac{1}{2},S_{5}=11$，则$a_{1}=$_______.

答案： 16 解析：因为$S_{5}=\frac{a_{1}[1 - (-\frac{1}{2})^{5}]}{1 - (-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}\times\frac{33}{32}a_{1}=11$，所以$a_{1}=16$。

3. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n}$为其前n项和，解决下列问题：
（1）若$a_{n}=2^{n}$，求$S_{6}$；
（2）若$a_{1}+a_{3}=\frac{5}{4},a_{4}+a_{6}=10$，求$S_{5}$；
（3）若$S_{n}=189,q = 2,a_{n}=96$，求$a_{1}$和$n$.

答案： 解：设数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q$。 （1）因为$a_{n}=2^{n}=2\times2^{n - 1}$，所以$a_{1}=2$，$q = 2$。 所以$S_{6}=\frac{2\times(1 - 2^{6})}{1 - 2}=126$。 （2）由题意，得$\begin{cases}a_{1}+a_{1}q^{2}=\frac{5}{4}\\a_{1}q^{3}+a_{1}q^{5}=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=\frac{1}{4}\\q = 2\end{cases}$。 从而$S_{5}=\frac{a_{1}(1 - q^{5})}{1 - q}=\frac{\frac{1}{4}\times(1 - 2^{5})}{1 - 2}=\frac{31}{4}$。 （3）（方法一）由$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$，$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$及已知条件，得$\begin{cases}189=\frac{a_{1}(1 - 2^{n})}{1 - 2}\\96=a_{1}\cdot2^{n - 1}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=3\\n = 6\end{cases}$。 （方法二）由公式$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$及已知条件，得$189=\frac{a_{1}-96\times2}{1 - 2}$，解得$a_{1}=3$。 又由$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$，得$96 = 3\times2^{n - 1}$，解得$n = 6$。

任务二 等比数列前n项和的性质
[探究活动]
我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”
探究1：此人第一天走的路程为多少里？
探究2：此人第二天走了多少里？后三天共走了多少里？
[评价活动]

答案： 探究1：由题设知，此人每天走的路程构成等比数列$\{a_{n}\}$，且公比$q=\frac{1}{2}$， 由前6项的和为378，可得$\frac{a_{1}(1-\frac{1}{2^{6}})}{1-\frac{1}{2}} = 378$， 解得$a_{1}=192$。所以此人第一天走了192里。 探究2：由探究1，得$a_{2}=96$，$a_{3}=48$，$a_{4}=24$，$a_{5}=12$，$a_{6}=6$，所以此人第二天走了96里，后三天共走了42里。