《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

1. 设$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前 n 项和，且$a_{1}=1,a_{4}=7$，则$S_{9}=$_______.

答案： 81

2. 设$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前 n 项和，若$S_{3}=3,S_{6}=24$，则$a_{9}=$_______.

答案： 15

3. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{1}=1,a_{n}=-512,S_{n}=-1 022$，则公差$d=$_______.

答案： -171

任务二 等差数列前 n 项和性质的应用
[探究活动]
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块. 已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块.

探究 1：从内到外每环上扇面形石板数之间能构成等差数列吗？
探究 2：每一层中有多少环扇面形石板？
探究 3：下层最后一环有多少块扇面形石板？

答案： 能，且公差$d = 9$，$a_{1}=9$。
@@设每一层有$n$环。由题意可知从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，且公差$d = 9$，$a_{1}=9$。由等差数列的性质可得$S_{n}$，$S_{2n}-S_{n}$，$S_{3n}-S_{2n}$成等差数列，且$(S_{3n}-S_{2n})-(S_{2n}-S_{n})=n^{2}d$，则$n^{2}d = 729$，解得$n = 9$，即每一层中有9环扇面形石板。
@@由探究1、探究2知，每环石板数之间构成等差数列，公差$d = 9$，$a_{1}=9$，且下层最后一环为第27项，所以$a_{n}=9+(n - 1)\times9 = 9n$，$a_{27}=9\times27 = 243$，即下层最后一环有243块扇面形石板。