《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第二册人教版A》

知识点 等差数列前$n$项和的性质
(1)设两个等差数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的前$n$项和分别为$S_{n}$，$T_{n}$，则$\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{S_{2n - 1}}{T_{2n - 1}}$.
(2)等差数列前$n$项和$S_{n}$最大(小)值的情形：
①若$a_{1}＞0$，$d0$，则$S_{n}$存在最大值，即所有非负项之和.
②若$a_{1}0$，$d＞0$，则$S_{n}$存在最小值，即所有非正项之和.
[微训练]

答案： ＜@@＜

1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)等差数列的前$n$项和$S_{n}$一定是关于$n$的二次函数. （ ）
(2)若无穷等差数列$\{a_{n}\}$的公差$d＞0$，则其前$n$项和$S_{n}$不存在最大值. （ ）
(3)若两个等差数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$的前$n$项和分别为$A_{n}$，$B_{n}$，则一定有$\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{A_{n}}{B_{n}}$. （ ）

答案： ×@@√@@×

2. 设等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$. 若$a_{2}=-3$，$S_{5}=-10$，则$a_{5}=$________，$S_{n}$的最小值为________.

答案： 0@@ -10 解析：$a_{2}=a_{1}+d = -3$，$S_{5}=5a_{1}+10d = -10$，即$a_{1}+2d = -2$，解得$a_{1} = -4$，$d = 1$。所以$a_{5}=a_{1}+4d = 0$，$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d=\frac{n^{2}-9n}{2}$。当$n = 4$或 5 时，$S_{n}$最小，最小值为 -10。

任务型课堂
任务一 等差数列前 $n$ 项和的实际应用
[探究活动]
在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.
探究1：相逢时两马共行多少里？
探究2：从出发到两马相逢共多少日？

答案： $1125×2 = 2250$(里).
@@由题可知，良马每日行程$a_{n}$构成一个首项为103，公差为13的等差数列，驽马每日行程$b_{n}$构成一个首项为97，公差为$-\frac{1}{2}$的等差数列。 则$a_{n}=103 + 13(n - 1)=13n + 90$，$b_{n}=97-\frac{1}{2}(n - 1)=\frac{195}{2}-\frac{1}{2}n$。 由探究知数列$\{a_{n}\}$与数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$1125×2 = 2250$。 又因为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$\frac{n}{2}×(103 + 13n + 90)=\frac{n}{2}×(193 + 13n)$，数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$\frac{n}{2}×(97+\frac{195}{2}-\frac{1}{2}n)=\frac{n}{2}×(\frac{389}{2}-\frac{1}{2}n)$。 所以$\frac{n}{2}×(193 + 13n)+\frac{n}{2}×(\frac{389}{2}-\frac{1}{2}n)=2250$。整理得$25n^{2}+775n - 9000 = 0$，即$n^{2}+31n - 360 = 0$，解得$n = 9$或$n=-40$(舍)，即九日相逢。